Question

16．在野外生存训练中，小军的任务是要从A处走到河岸取水后然后送到B处，如图．若A、B两地相距3000m，MN是与AB连线平行的小河的河岸．AB到河岸的垂直距离为2000m，小军速度大小恒为5km/h，不考虑取水停留时间，请为小军设计一条最路线，在图中做出这条最短路线（请保留必要的作图痕迹）并算出小军取水的最短时间．

Answer 1

分析 （1）利用平面镜成像的特点：像与物关于平面镜对称，作出发光点A的像点A′，根据反射光线反向延长通过像点，可以由像点和B点确定反射光线所在的直线，两点之间，直线最短．
（2）已知AB间的距离是3000m，AB到河岸的距离（AD）是2000m，可以计算出DB间的距离，此时便可知道小军要走的路程了，又知速度，根据v=$\frac{s}{t}$变形计算出所需时间；

解答 解：（1）作出发光点A关于平面镜的对称点，即为像点A′，连接A′、B点交平面镜于点O，沿OB画出反射光线，连接AO画出入射光线，如图所示，图中O就是入射点；

①由图可知，A′B的连线是线段，两点之间，线段最短，即此时A′B之间的距离（A′O+OB）最短；
②根据平面镜成像的特点可知，此时AD=A′D，且Rt△ADO与Rt△A′DO有一条公共边DO，故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO，
即AO=A′O；
故AO+OB=A′O+OB；
即此时O点是最短路线的取水点．
（2）由上图可知，小军通过的路程是AO+OB，
此时，AB=3000m，AD=2000m，AA′=AD+DA′=2000m+2000m=4000m，
根据勾股定理可知，A′B=5000m，OB=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$×5000m=2500m，
DO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×3000m=1500m，
AO=$\sqrt{（AD）^{2}+（DO）^{2}}$=$\sqrt{（2000m）^{2}+（1500m）^{2}}$=2500m，
故小军通过的路程s=AO+OB=2500m+2500m=5000m=5km，
由v=$\frac{s}{t}$可得，
所需的时间：
t=$\frac{s}{v}$=$\frac{5km}{5km/h}$=1h；
答：小军取水的最短时间为1h．

点评 本题利用平面镜成像的特点，并结合数学知识，解决实际问题（取水路线最短），综合性较强，是中考考查的热点问题．