Question

（2010?东丽区一模）从高空下落的物体，速度越来越大，所受空气阻力也会随速度的增大而增大，因此物体下落一段距离后将以某一速度作匀速直线运动，通常把这个速度称为收尾速度．求：
（1）一质量m=0.3kg的小球在加速下落20m高度的过程中重力所做的功（g取10N/kg）．
（2）研究发现，相同环境条件下，空气对不同材质的球形物体的阻力大小与球的半径 和速度都有关系．下表为某次研究的实验数据，根据表格中的数据，求出编号为2、3的小球在达到收尾速度时所受的空气阻力之比．

小球编号	1	2	3	4
小球质量（×10-2kg）	2	5	45	40
小球半径（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2
小球的收尾速度m/s	16	40	40	20

（3）根据表格中的数据，小刚研究出了球形物体所受的空气阻力f与球的收尾速度v的关系．
他的分析如下：由编号1、2两个小球的数据分析，在半径r相同的情况下，
收尾速度之比：

v1

v2

=

16

40

=

2

5

     空气阻力之比

f1

f2

=

m1g

m2g

=

2

5

得出结论：空气阻力f与收尾速度v成正比．
请你参照小刚的分析思路，求出球形物体所受的空气阻力f与球的半径r的关系．

Answer 1

分析：（1）根据公式W=Gh可求出重力所做的功；
（2）物体做匀速直线运动时，重力与阻力是一对平衡力，这样根据小球的质量可求出其所受空气阻力之比；
（3）要想分析物体所受的空气阻力f与球的半径r的关系，必须选择收尾速度相同时的数据，再参照对空气阻力f与收尾速度v的分析思路进行分析．

解答：解：（1）重力做功：W=Gh=mgh=0.3kg×10N/kg×20m=60J；
（2）小球达到收尾速度时，做匀速直线运动，小球受平衡力f=mg，所以编号2、3小球在达到收尾速度时所受空气阻力之比

f2

f3

=

m2g

m3g

=

m2

m3

=

1

9

；
（3）由编号2、3两个小球的数据分析，在收尾速度v相同的情况下，半径之比

r2

r3

=

1

3

 空气阻力之比

f2

f3

=

m2g

m3g

=

m2

m3

=

1

9

，
得出结论：f与r²成正比．
故答案为：（1）重力所做的功为60J；
（2）空气阻力之比为1：9；
（3）f与r²成正比．

点评：通过此题考查了对重力做功的计算，利用二力平衡分析空气的阻力，尤其是对球形物体所受空气阻力f与球的半径r的关系的分析是本题的难点，此题也为我们提供了一个很好的参照，值得我们借鉴．