Question

3．如图所示，置于水平地面上的实心均匀正方体甲、乙质量分别为2m和m，边长分别为2a和a．它们对地面的压强之比为1：2，实心均匀正方体丙、丁的密度和边长分别如表所示，若在丙或丁中选择一个叠放在甲或乙上方中央，使上方物体对下方物体的压强p与下方物体对地面的压强增加量△p的比值最大，应将丁叠放在甲上方中央．

物体	密度	边长
丙	ρ	2a
丁	3ρ	a

Answer 1

分析 （1）物体置于水平地面上，对地面的压力等于物体的重力，求出受力面积，利用压强公式求出甲乙对地面的压强，进而得出压强之比；
（2）知道丙和丁的密度和边长，利用G=mg=ρVg求其重力，利用压强公式分别求出上方物体对下方物体的压强、下方物体对地面的压强增加量，求出比值得出答案．

解答 解：
（1）由于物体置于水平地面上，所以对地面的压力：
F_甲=G_甲=m_甲g=2mg，
F_乙=G_乙=m_乙g=mg，
而受力面积：
S_甲=（2a）²=4a²，
S_乙=a²，
对地面的压强：
p_甲=$\frac{{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{2mg}{4{a}^{2}}$=$\frac{mg}{2{a}^{2}}$，
p_乙=$\frac{{F}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{mg}{{a}^{2}}$，
所以：p_甲：p_乙=$\frac{mg}{2{a}^{2}}$：$\frac{mg}{{a}^{2}}$1：2；
（2）由G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$得丙丁的重力：
G_丙=m_丙g=ρ_丙V_丙g=ρ×（2a）³g=8ρa³g，
G_丁g=m_丁g=ρ_丁V_丁g=3ρ×a³g=3ρa³g，
在丙或丁种选择一个叠放在甲或乙上方中央，
为了使上方物体对下方物体的压强p与下方物体对地面的压强增加量△p的比值最大，则要求p最大、△p最小，
共有四种方法：

第一种情况：
p₁=$\frac{{F}_{丙}}{{S}_{丙}}$=$\frac{{G}_{丙}}{4{a}^{2}}$=$\frac{8ρ{a}^{3}g}{4{a}^{2}}$=2ρag，
△p₁=$\frac{{F}_{丙}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{丙}}{4{a}^{2}}$=$\frac{8ρ{a}^{3}g}{4{a}^{2}}$=2ρag，
$\frac{{p}_{1}}{△{p}_{1}}$=$\frac{2ρag}{2ρag}$=1；
第二种情况：
p₂=$\frac{{F}_{丁}}{{S}_{丁}}$=$\frac{{G}_{丁}}{{a}^{2}}$=$\frac{3ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=3ρag，
△p₂=$\frac{{F}_{丁}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{丁}}{4{a}^{2}}$=$\frac{3ρ{a}^{3}g}{4{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$ρag，
$\frac{{p}_{2}}{△{p}_{2}}$=$\frac{3ρag}{\frac{3}{4}ρag}$=4；
第三种情况：
p₃=$\frac{{F}_{丙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{丙}}{{a}^{2}}$=$\frac{8ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=8ρag，
△p₃=$\frac{{F}_{丙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{丙}}{{a}^{2}}$=$\frac{8ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=8ρag，
$\frac{{p}_{3}}{△{p}_{3}}$=$\frac{8ρag}{8ρag}$=1；
第四种情况：
p₄=$\frac{{F}_{丁}}{{S}_{丁}}$=$\frac{{G}_{丁}}{{a}^{2}}$=$\frac{3ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=3ρag，
△p₄=$\frac{{F}_{丁}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{丁}}{{a}^{2}}$=$\frac{3ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=3ρag，
$\frac{{p}_{4}}{△{p}_{4}}$=$\frac{3ρag}{3ρag}$=1；
可见，第二种情况的比值最大，即将丁叠放在甲上方中央．
故答案为：1：2；丁叠放在甲上方中央．

点评 本题考查了密度公式、重力公式、压强公式的应用，难点在第二问，需要定量的计算，简单比较很容易出错．