Question

15．密度均匀的正方体A和B，其中正方体A的边长为0.1米，质量为0.4千克；正方体B的边长为0.2米，密度为200千克/米³．正方体A和B均放在水平地面上．求：
（1）正方体A的密度．
（2）正方体B对地面的压力．
（3）如图所示，若从正方体A和B的上部各挖出一个体积均为V的小正方体后，此时它们对地面的压强分别为P_A′和P_B′，是否有可能使P_A′=$\frac{1}{2}$P_B′，如果有可能，求出V，如果没有可能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知正方体A的边长，可以得到体积；已知体积和质量，可以得到A的密度；
（2）已知正方体B的边长，可以得到体积；已知体积和密度，可以得到B的质量，进一步得到重力；放在水平面上的物体，对水平面的压力等于其重力；
（3）假设从正方体A和B的上部各挖出一个体积均为V的小正方体后，有可能使P_A′=$\frac{1}{2}$P_B′，根据压强等量关系得到方程求解V，最后判断是否符合实际．

解答 解：
（1）正方体A的体积为V_A=（a_A）³=（0.1m）³=10^-3m³，
因为ρ=$\frac{m}{V}$，
所以正方体A的密度为ρ_A=$\frac{{m}_{A}}{{V}_{A}}$=$\frac{0.4kg}{1{0}^{-3}{m}^{3}}$=400kg/m³；
（2）正方体B的体积为V_B=（a_B）³=（0.2m）³=8×10^-3m³，
正方体B对水平面的压力F_B=G_B=m_Bg=ρ_BV_Bg=200kg/m³×8×10^-3m³×10N/kg=16N；
（3）因为p=$\frac{F}{S}$，
设两个正方体挖去的体积为V，根据题意得
p_A′=$\frac{{F}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{G}_{A}′}{{S}_{A}}$=$\frac{{G}_{A}-{ρ}_{A}gV}{{S}_{A}}$，
$\frac{1}{2}$p_B′=$\frac{1}{2}×\frac{{F}_{B}′}{{S}_{B}}$=$\frac{1}{2}×\frac{{G}_{B}′}{{S}_{B}}$=$\frac{1}{2}×\frac{{G}_{B}-{ρ}_{B}gV}{{S}_{B}}$，
假设p_A′=$\frac{1}{2}$p_B′，
即$\frac{{G}_{A}-{ρ}_{A}gV}{{S}_{A}}$=$\frac{1}{2}×\frac{{G}_{B}-{ρ}_{B}gV}{{S}_{B}}$，
带入数值得
$\frac{0.4kg×10N/kg-400kg/{m}^{3}×10N/kg×V}{（0.1m）^{2}}$=$\frac{1}{2}×\frac{200kg/{m}^{3}×10N/kg×8×1{0}^{-3}{m}^{3}-200kg/{m}^{3}×10N/kg×V}{（0.2m）^{2}}$，
解得V=10^-3m³，
而A的体积为10^-3m³，所以不可能．
答：
（1）正方体的密度为400kg/m³；
（2）正方体B对水平面的压力为16N；
（3）不可能使P_A′=$\frac{1}{2}$P_B′．

点评 此题考查的是我们对密度、重力、压强计算公式的掌握和应用，是一道力学综合题，根据压强等量关系得到V的大小，是解答最后一小题的关键．