Question

19．如图所示，放在水平地面上的薄壁圆柱形容器A、B，底面积分别为4×10^-2米²、6×10^-2米²，高均为0.5米．A中盛有6.4千克的酒精（已知ρ_酒=0.8×10³千克/米³）、B中有一底面积为3×10^-2米²、高为0.25米、质量为15千克的实心金属块甲，同时盛有水，水深0.12米．求：
①甲的密度；
②酒精对容器底的压强；
③若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，是否有可能使液体对容器底的压强相同．若有可能请求出体积值，若不可能请通过计算说明．

Answer 1

分析 （1）已知实心金属块甲底面积和高度，求出其体积，利用ρ=$\frac{m}{V}$即可求出金属块甲的密度；
（2）已知酒精的质量，求出酒精的重力，由于是柱状容器，酒精产生的压力与酒精的重力相等，则可利用p=$\frac{F}{S}$求酒精产生的压强；
（3）已知酒精的质量和密度可求酒精的体积，根据A容器的底面积求出酒精的深度，
若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，则根据h=$\frac{V}{S}$求出酒精和水再增加的深度，根据产生的压强相等即可求出需要倒入酒精和水的体积，最后即可做出判断．

解答 解：①金属块甲的体积V_甲=S_甲h_甲=3×10^-2m²×0.25m=7.5×10^-3m³，
则ρ_甲=$\frac{{m}_{甲}}{{V}_{甲}}$=$\frac{15kg}{7.5×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=2×10³kg/m³．
②由于容器A是放在水平地面上的薄壁圆柱形容器，则F_酒=G_酒=m_酒g=6.4kg×9.8N/kg=92.72N，
则p_酒=$\frac{{F}_{酒}}{{S}_{A}}$=$\frac{62.72N}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=1568Pa；
③容器A中原来酒精的深度为h_酒=$\frac{{V}_{酒}}{{S}_{A}}$=$\frac{{m}_{酒}}{{ρ}_{酒}{S}_{A}}$=$\frac{6.4kg}{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.2m，
容器B中原来水的深度为h_水=0.12m，
若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，使液体对容器底的压强相同，
则：p_水′=p_酒′，
即：ρ_水gh_水′=ρ_酒精gh_酒′，
所以，ρ_水g（h_水+$\frac{V}{{S}_{B}-{S}_{甲}}$）=ρ_酒精g（h_酒+$\frac{V}{{S}_{A}}$），
即：1.0×10³kg/m³×（0.12m+$\frac{V}{3×1{0}^{-2}{m}^{2}}$）=0.8×10³kg/m³×（0.2m+$\frac{V}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$），
解得：V=3×10^-3m³，
此时由于h_水′=0.12m+$\frac{3×1{0}^{-3}{m}^{3}}{3×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.22m＜0.25m=h_金属，
所以，可以成立．
若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，水的液面若超过金属块的高度，
则倒入水后水的深度为h_水″=h_金属+$\frac{V-（{h}_{金属}-{h}_{水}）×（{S}_{B}-{S}_{金属}）}{{S}_{B}}$，
由于p_水″=p_酒″，
即：ρ_水gh_水″=ρ_酒精gh_酒″，
所以，ρ_水g（h_金属+$\frac{V-（{h}_{金属}-{h}_{水}）×（{S}_{B}-{S}_{金属}）}{{S}_{B}}$=ρ_酒精g（h_酒精+$\frac{V}{{S}_{A}}$），
即：1.0×10³kg/m³×（0.25m+$\frac{V-（0.25m-0.12m）×（6×1{0}^{-2}{m}^{2}-3×1{0}^{-2}{m}^{2}）}{6×1{0}^{-2}{m}^{2}}$）=0.8×10³kg/m³×（0.2m+$\frac{V}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$），
解得：V=7.5×10^-3m³，
而h_酒+$\frac{V}{{S}_{A}}$=0.2m+$\frac{7.5×1{0}^{-3}{m}^{3}}{4×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.3875m＜0.5m，
h_金属+$\frac{V-（{h}_{金属}-{h}_{水}）×（{S}_{B}-{S}_{金属}）}{{S}_{B}}$=0.25m+$\frac{7.5×1{0}^{-3}{m}^{3}-（0.25m-0.12m）（6×1{0}^{-2}{m}^{2}-3×1{0}^{-2}{m}^{2}）}{6×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=0.31m＜0.5m，
水和酒精不会溢出，所以，可以成立．
答：①甲的密度为2×10³kg/m³；
②酒精对容器底的压强为1568Pa；
③有可能．再向两容器中分别倒入酒精和水的体积为3×10^-3m³、7.5×10^-3m³．

点评 本题考查液体压强和密度公式的应用，难点是若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，酒精和水深度的计算，最后注意判断时水的深度变化时根据容器B与金属块的面积之差分析的，所以关键是注意最后得出水的深度与金属块的高度比较一下．