Question

17．如图甲，水平地面上有一底面积为400cm²，重为2N的圆柱形容器（容器重和容器壁厚度不计），容器内盛有20cm深的水，一个量程选择合适的弹簧测力计下端用细线挂着一个边长为10cm的不吸水的正方体物块缓慢放入水中，物块的上表面与水面刚好相平，此时测力计示数为10N，如图乙．已知在一定范围内，弹簧受到的拉力每减少1N，弹簧的长度就缩短0.6cm．（g=10N/kg） 求：
（1）图甲中水对容器底部的压强是多少？
（2）物体的密度是多少？
（3）图乙中从容器内向外缓慢抽水，直至物块有一半浸在水中，此时容器对桌面的压强？

Answer 1

分析 （1）已知甲中水的深度，根据p=ρgh求出水对容器底部的压强；
（2）物块的上表面与水面刚好相平时排开水的体积和其体积相等，根据阿基米德原理求出物块受到水的浮力，根据F_浮=G-F′求出物体的重力，根据ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{G}{gV}$求出物体的密度；
（3）水的体积加上物体排开水的体积然后除以容器的底面积即为图乙容器内水的深度，根据阿基米德原理求出物块有一半浸在水中时受到的浮力，根据F_浮=G-F′可知此时弹簧测力计的示数，进一步得出弹簧的拉力增加了量，根据题意求出弹簧的伸长量即物体下降的高度，进一步求出剩余部分水的深度以及剩余部分水的体积，根据m=ρV求出剩余的水的质量，根据G=mg求出剩余的水的重力，物块受到水的浮力和物块对水的压力是一对相互作用力，二力大小相等，则容器对桌面的压力等于容器和水的重力加上物体受到的浮力，根据p=$\frac{F}{S}$求出容器对桌面的压强．

解答 解：（1）图甲中水对容器底部的压强：
p_甲=ρ_水gh_甲=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2000Pa；
（2）物块的上表面与水面刚好相平时排开水的体积：
V_排=V=L³=（10cm）³=1000cm³=0.001m³，
物块受到水的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.001m³=10N，
由F_浮=G-F′可得，物体的重力：
G=F_浮+F′=10N+10N=20N，
物体的密度为：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{G}{gV}$=$\frac{20N}{10N/kg×0.001{m}^{3}}$=2×10³kg/m³；
（3）图乙容器内水的深度：
h_乙=$\frac{{V}_{水}+{V}_{物}}{{S}_{容}}$=$\frac{400c{m}^{3}×20cm+1000c{m}^{3}}{400c{m}^{2}}$=22.5cm，
物块有一半浸在水中时，
由F_浮=ρgV_排可知，F_浮′=$\frac{1}{2}$F_浮=$\frac{1}{2}$×10N=5N，
由F_浮=G-F′可知，此时弹簧测力计的示数：
F″=G-F_浮′=20N-5N=15N，即弹簧的拉力增加了5N，
因在一定范围内，弹簧受到的拉力每减少1N，弹簧的长度就缩短0.6cm，
所以，弹簧伸长了0.6cm/N×5N=3cm，即物体下降了3cm，
而新的液面在物体高的中点位置，液面下降了3cm+5cm=8cm，
剩余部分水的深度为22.5cm-8cm=14.5cm，
剩余部分水的体积：
V_水剩=S_容h_剩-$\frac{1}{2}$V=400cm²×14.5cm-$\frac{1}{2}$×1000cm³=5300cm³，
则剩余的水的质量：
m_水剩=ρ_水V_水剩=1.0g/cm³×5300cm²=5300g=5.3kg，
剩余的水的重力：
G_水剩=m_水剩g=5.3kg×10N/kg=53N，
因物块受到水的浮力和物块对水的压力是一对相互作用力，二力大小相等，
所以，容器对桌面的压力：
F_压=G_容+G_剩水+F_浮=2N+53N+5N=60N，
容器对桌面的压强：
p=$\frac{{F}_{压}}{{S}_{容}}$=$\frac{60N}{400×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=1500Pa．
答：（1）图甲所示中水对容器底部的压强是2000Pa；
（2）物体的密度为2×10³kg/m³；
（3）容器对桌面的压强为1500Pa．

点评 本题是有关压强和浮力的综合计算题目，首先要掌握液体压强的计算公式及阿基米德原理公式，此题的关键是能够根据所给的条件计算出物块有一半浸在水中时水的深度，第（3）问中，容器对桌面的压力计算是难点．