Question

17．如图所示的连通器竖直高度为h，粗管横截面积为S，半径是细管的2倍，横管长为L，粗细与细管一样，先把体积为V的水银（ρ_水银）注入连通器内，再从粗管一端灌水（ρ_水），求灌满粗管中水银下降高度△h的表达式．

Answer 1

分析 （1）由于粗管半径是细管的2倍，粗管面积是细管的4倍，则细管上升的高度是粗管下降高度的$\frac{1}{4}$，先计算注入水银后，两管中水银的高度h₀；
（2）粗管中注入水后，粗管中水银下降的体积与细管中上升体积相等，由△V=Sh表示出细管上水银上升高度，从而计算出两管中水银的高度差△H和注入水的高度；
（3）两管中水银柱高度差产生的压强与注入水柱产生的压强相等，即p_水=p_水银．然后我们再利用压强计算公式p=ρgh，计算出灌满后粗管中水银下降高度△h．

解答 解：
（1）因为粗管横截半径是细管的2倍，粗管横截面积为S，则细管面积为$\frac{S}{4}$，
连通器注入同种液体，液体静止时液面相平，注入体积为V的水银后，设两管中水银高度为h₀，
则有：V_细+V_横+V_粗=V，即：$\frac{S}{4}$•h₀+$\frac{S}{4}$•L+Sh₀=V，
解得：h₀=$\frac{4V-SL}{5S}$，
（2）粗管中注入水后，粗管中水银下降，细管中水银上升，
且△V_下降=△V_上升，即：S•△h=$\frac{S}{4}$•△h_细，
所以△h_细=4△h，
此时两管中水银高度差为△H=△h+4△h=5△h，
所以注入水的高度h_水=h-（h₀-△h）=h-（$\frac{4V-SL}{5S}$-△h）=h+△h-$\frac{4V-SL}{5S}$，
（3）水银柱高度差产生的压强与注入水柱产生的压强相等，即：p_水=△p_水银，
则：ρ_水gh_水=ρ_水银g△H，
1.0×10³kg/m³×g×（h+△h-$\frac{4V-SL}{5S}$）=13.6×10³kg/m³×g×5△h，
解得：△h=$\frac{S（5h+L）-4V}{335S}$．
答：水灌满粗管，水银下降高度△h的表达式为：△h=$\frac{S（5h+L）-4V}{335S}$．

点评 解答本题时，一定要找出题中的等量关系．本题中的等量关系有：一、粗管中水银下降体积等于细管中水银上升体积；二、粗管中水银柱下降的高度与细管中水银柱上升的高度之和等于两管水银柱的高度差；三、注入水柱产生的压强与两管水银柱高度差产生的压强相等．还要注意粗管与细管的横截面积关系．