Question

我校高中部建筑工地运来一个边长为a的正方体重物箱，某工人欲用一根粗细均匀的铁棒把重物箱撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被放大）．已知：铁棒单位长度受到的重力为P；重物箱受到的重力为G（重物箱的密度均匀）．工人将铁棒的一端插入箱底，在另一端施加一个向上的力撬动重物箱．如果插入的长度为箱宽的四分之一，并保持该长度不变，请你通过计算帮他分析，当选用的铁棒长度满足什么条件时，施加的力最小？这个最小的力是多少？

Answer 1

分析：由题可知，铁棒的重力提供一部分阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为

L

2

；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则一半物重提供阻力，阻力臂为

a

4

；力F提供动力，动力臂为L．在动力和阻力的作用下，杠杆平衡．由杠杆的平衡条件求出关于F的表达式，则由数学知识要求得F的最小值及取最小值时L的长度．

解答：解：设铁棒长为L，动力为F．由题可知铁棒的重力提供的阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为

L

2

；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则重物的一半重力提供阻力（即只有一半的重力压在杠杆上），阻力臂为

a

4

；力F提供动力，动力臂为L．由杠杆的平衡条件得
F₁L₁=F₂L₂
 

a

4

?

G

2

+LP?

L

2

=LF
解得人对杠杆的力F=

aG 8 + pL2 2

L

=

aG

8L

+

p

2

L
由数学知识a²+b²≥2ab，当a=b时取最小值，可得
当

aG

8L

=

P

2

L时，即L=

1

2

aG p

时F有最小值．
F的最小值为：F=

1

2

aGP

．
答：当选用的铁棒长度为L=

1

2

aG P

时，施加的力最小；这个最小的力是F=

1

2

aGP

．

点评：本题是关于杠杆平衡条件的应用，关键点是结合题意：把重物箱撬起一个接近于0°的角度，准确找出阻力臂和动力臂．由于解题时需要用到数学上的知识，属于综合性较强的题目．