Question

如图是小刚用滑轮组提升水中铝块的示意图．当铝块浸没在水面以下匀速上升时，作用在绳子自由端的拉力为F₁，小刚对地面的压强为P₁，滑轮组的机械效率为η₁；当铝块的上表面露出水面20cm时，作用在绳子自由端的拉力为F₂，小刚对地面的压强为P₂，滑轮组的机械效率为η₂；当铝块全部露出水面后匀速上升时，作用在绳子自由端的拉力为F₃，小刚对地面的压强为P₃，滑轮组的机械效率为η₃；已知滑轮组中大小两种滑轮的质量之比为3：1，小刚身体的质量为60kg，圆柱形铝块的底面积为0.06m²，铝的密度为2.7×10³kg/m³，若F₁：F₂=5：6，P₁：P₃=10：9，（不计水的阻力、绳重和摩擦，g取10N/kg），求：
（1）当滑轮组的机械效率为88%时，铝块受到的浮力是多少？
（2）出水后如果铝块以0.1米/秒的速度匀速上升，小刚作用在绳子自由端拉力的功率是多少？

Answer 1

解：设滑轮组中两个大动滑轮的重力各为G_动，下方为动滑轮1，上边的为动滑轮2
（1）出水前铝块浸没在水中（V_排=V_铝），铝块处于平衡状态：
G_人=mg=60kg×10N/kg=600N
铝块的上表面露出20cm后，铝块露出水面的体积是：V_露=0.06m²×0.2m=0.12m³
铝块减小的浮力是：△F_浮=ρ_水gV_露=1.0×10³kg/m³×0.12m³×10N/kg=120N；F_浮2=F_浮1-△F_浮F_浮2=F_浮1-120N①
2以下方动滑轮1为研究对象：出水前上方动滑轮2对动滑轮1的拉力为T₁，露出20cm后
动滑轮2对动滑轮1的拉力为T₂，出水后动滑轮2对动滑轮1的拉力为T₃，受力分析如图（一）甲、乙、丙所示．n=2
出水前：T₁=
露出20cm后：T₂=
露出水后：T₃=；
3以动滑轮2为研究对象：出水前小刚对绳子的拉力为F₁，露出20cm后小刚对绳子的拉力为F₂，
后出水后小刚对绳子的拉力为F₃，受力分析如图（二）甲、乙、丙所示．　n=3
出水前：F₁==
露出20cm后：F₂==
出水后：F₃==…；
==②
把①代入②化简得：G_铝-F_浮1+3G_动=600N③
4以小刚本人为研究对象：出水前小刚对地面的压力F_压1等于支持力N₁，露出20cm后小刚对地面的压力F_压2等于支持力N₂，出水后小刚对地面的压力F_压3等于支持力N₃，受力分析如图（三）甲、乙、丙所示．人始终处于静止状态，所以有：F_压1=N₁=G_人-F₁；
F_压2=N₂=G_人-F₂，F_压3=N₃=G_人-F₃；
==；
==；
化简得：9F_浮1+G_铝+3G_动=6G_人9F_浮1+G_铝+3G_动=3600N④；
④-③得：10F_浮1=3000N∴F_浮1=300N；
答：铝块受到的浮力是300N；
（2）∵在水面以下时，铝块浸没在水中，∴F_浮1=ρ_水gV_排1=ρ_水gV_铝=1.0×10³kg/m³×10N/kg×V_铝=300N；
解得：V_铝=0.03m³
∴G_铝=ρ_铝gV_铝=2.7×10³kg/m³×10N/kg×0.03m³=810NG_动=30N；
η₄===88%；
把G_动=30NG_铝=810N代入解得：F_浮3=150N…；
∵铝块移动的速度是0.1m/s；
∴绳子自由端移动的速度0.6m/s；
v_铝=0.1米/秒
∴v_自=0.6米/秒；
F₃====150N；
P_自=F₃ v_自=150N×0.6m/s=90W；　　　　　 　　　　　　　　
答：小刚作用在绳子自由端拉力的功率为90W．
分析：（1）根据公式G=mg可求人的重力；根据公式F_浮=ρ_水gV求出铝块减小的浮力；再分别以动滑轮1和2为研究对象，对物体进行受力分析，找出等量关系，求出浮力的大小；
（2）在水面以下时，铝块浸没在水中，根据浮力公式求出铝块体积的大小；进一步求出铝块的质量和重力；再求出绳子的拉力，最后根据公式P=FV求出小刚作用在绳子自由端拉力的功率．
点评：本题考查浮力、功率的计算，关键是公式及其变形的灵活运用，难点是对物体的受力分析，找出等量关系．