Question

如图（a），圆柱形容器中装入一定量的水，将一长方体木块B放置水中，上面加一长方体的金属块A，木块静止时，露出水面的高度为h₁，如图（b）：然后将金属块用细线悬挂在木块下面．静止时木块露出水面的高度为h₂，如图（c）：再将细线剪断，金属块沉入水底，当木块再次静止时露出水面的高度为h₃，如图（d）．

（1）若（b）（c）（d）容器中底部受到水的压强分别标记为P₁、P₂、P₃，试写出P₁、P₂、P₃的大小关系：______；
（2）试推导金属块A的密度．（水的密度记为ρ_水）

Answer 1

解：（1）图（b）（c）中把A、B看做一个整体，它们都漂浮，所以浮力都等于自身的总重力；（d）图中A下沉，所以A、B受到的总浮力小于它们自身的总重力．
∴F_浮b=F_浮c＞F_浮d，
根据F_浮=ρ_水gV_排，知V_排b=V_排c＞V_排d，
容器底面积相同，∴放入A、B后液面上升的高度△h_b=△h_c＞△h_d，
∴水深h_b=h_c＞h_d，
根据液体压强公式P=ρgh知P₁=P₂＞P₃．
（2）设B底面积为S，高为h，A的体积为V，密度为ρ_A，
由（b）图所示可得ρ_水S（h-h₁）=m_A+m_B…①；
由（c）图可得ρ_水V_A+ρS（h-h₂）=m_A+m_B…②；
由（d）图可得ρ_水S（h-h₃）=m_B…③，
由①-③得m_A=ρ_水S（h₃-h₁）；
由①-②得V_A=S（h₂-h₁）；
则金属球的密度 ρ_A===ρ_水．
故答案为：P₁=P₂＞P₃；ρ_水．
分析：（1）根据阿基米德原理及浮沉条件可知（b）（c）（d）容器中排开的液体体积大小关系，即能确定水面上升高度的大小关系，再根据液体压强公式P=ρgh可知
容器中底部受到水的压强的大小关系；
（2）根据物体的浮沉条件及阿基米德原理分别列出甲、乙、丙三图的关系式，三式联立求得金属球的质量和体积表达式，再利用ρ=即可求得金属球的密度．
点评：此题主要综合考查物体浮沉条件的应用、压强和密度公式的计算，解答此题的关键是分别列出（b）（c）（d）三图的关系式，尤其是（d）图，不要再分析A排开的体积和受到的浮力情况，只分析空心金属盒的受到浮力情况列出等式即可．