Question

19．炎热的夏季，人们通过空调来降低并维持房间较低的温度，在室外的温度为T₁时，要维持房间T₀的温度，空调每小时工作n₀次．已知一厚度d，面积为S的截面，当两端截面处的温度分别为T_a、T_b，且T_a＞T_b，则热量沿着垂直于截面方向传递，达到稳定状态时，在△t时间内通过横截面S所传递的热量为：Q=K$\frac{{T}_{a}-{T}_{b}}{d}$S△t（其中K为物质的导热系数．）求：（1）当室外的温度升高到T₂时，如房间的温度仍然维持为T₀，则空调平均每小时工作多少次？
（2）设房屋墙壁以及顶部的厚度均为L、导热系数为K₁，如房间内再增加一厚度均为l（小写的L）、导热系数为K₂的保温涂层，在室外的温度为T₁房间的温度仍然维持为T₀，那么空调平均每小时工作多少次？（不考虑门窗及地面的热传导）

Answer 1

分析 （1）设空调每工作一次把Q₀的热量从室内搬运到室外，△t取1小时，然后列出等式即可求得结论；
（2）设墙壁与保温涂层接触处的温度为T，列出单位时间所传递的能量的等式，然后求得等效导热系数，再将两式相除即可求得结论．

解答 解：（1）设空调每工作一次把Q₀的热量从室内搬运到室外，△t取1小时，
则Q₀n₁=K$\frac{{T}_{1}-{T}_{0}}{d}$S△t------①
Q₀n₀=K$\frac{{T}_{2}-{T}_{0}}{d}$S△t------②
两式相除得：n₁=$\frac{{T}_{1}-{T}_{0}}{{T}_{2}-{T}_{0}}$n₀
（2）设墙壁与保温涂层接触处的温度为T，则单位时间所传递的能量为：
$（\frac{△Q}{△l}）$=${K}_{1}•\frac{{T}_{1}-T}{L}S$=${K}_{2}•\frac{T-{T}_{0}}{t}$S
式中K₁、K₂为墙壁与保温涂层导热系数，这样可得到两棒接触处的温度，其值为：
T=$\frac{{K}_{1}{T}_{1}l+{K}_{2}{T}_{0}L}{{K}_{2}L+{K}_{1}l}$，于是有：$\frac{{K}_{1}{K}_{2}（L+l）}{{K}_{1}l+{K}_{2}L}•\frac{{T}_{1}-{T}_{0}}{L+l}$S，
即得等效导热系数为K′=$\frac{{K}_{1}{K}_{2}（L+l）}{{K}_{1}l+{K}_{2}L}$，
${Q}_{0}{n}_{0}=K\frac{{T}_{1}-{T}_{0}}{L}S△l$，
${Q}_{0}{n}_{2}=K′\frac{{T}_{1}-{T}_{0}}{L+l}S△l$=$\frac{{K}_{1}{K}_{2}L}{{K}_{1}l+{K}_{2}L}•\frac{{T}_{1}-{T}_{0}}{L}S△l$，
两式相除得：${n}_{2}\frac{{K}_{2}L}{{K}_{1}l+{K}_{2}L}•{n}_{0}$．
答：（1）空调平均每小时工作n₁=$\frac{{T}_{1}-{T}_{0}}{{T}_{2}-{T}_{0}}$n₀次；
（2）空调平均每小时工作${n}_{2}\frac{{K}_{2}L}{{K}_{1}l+{K}_{2}L}•{n}_{0}$次．

点评 此题主要考查学生对热平衡方程的应用，计算步骤比较繁琐，有一定的难度，属于难题．