Question

13．如图所示电路中．电源电压保持不变，小灯泡L上标有“6V 3W”，且电阻不随温度变化，闭合开关S，让滑动变阻器的滑片P从a端开始向移动到c点，R_bc=$\frac{2}{3}$R_ab．这一过程中，电流表示数变化了0.1A，电路消耗的总功率变化了1.2W，小灯泡消耗的电功率没有超过额定功率，求：
（1）小灯泡正常工作时的电阻．
（2）电源电压．
（3）滑片P移动的过程中电压表示数的最大值．
（4）滑片P移动的过程中滑动变阻器电功率的最大值．

Answer 1

分析 由电路图可知，灯泡L与滑动变阻器串联，电压表测变阻器两端的电压，电流表测电路中的电流．
（1）灯泡灯泡正常发光时的电压和额定电压相等，根据P=UI求出额定电流，根据欧姆定律求出灯泡的电阻；
（2）知道电路中电流的变化量和电路消耗总功率的变化量，根据电源的电压不变时△P=U△I求出电源的电压；
（3）根据电阻的串联和欧姆定律分别表示出两种情况下的电流，求出滑动变阻器的最大阻值，当滑动变阻器接入电路中的电阻最大时电压表的示数最大；
（4）由串联电路特点和欧姆定律表示出电路中电流，由P=I²R表示滑动变阻器的功率，从而计算出变阻器的最大功率值．

解答 解：
由电路图可知，灯泡L与滑动变阻器串联，电压表测变阻器两端的电压，电流表测电路中的电流．
（1）由P=UI可得，灯泡正常发光时的电流：I_L=$\frac{{P}_{L}}{{U}_{L}}$=$\frac{3W}{6V}$=0.5A，
由I=$\frac{U}{R}$可得，小灯泡的电阻：R_L=$\frac{{U}_{L}}{{I}_{L}}$=$\frac{6V}{0.5A}$=12Ω；
（2）因电源的电压不变，
所以，由△P=U△I可得，电源的电压：
U=$\frac{△P}{△I}$=$\frac{1.2W}{0.1A}$=12V；
（3）由题知，I_c-I_a=0.1A，
由串联电路特点和欧姆定律可得：$\frac{U}{{R}_{cb}+{R}_{L}}$-$\frac{U}{{R}_{ab}+{R}_{L}}$=$\frac{12V}{\frac{2}{3}{R}_{ab}+12Ω}$-$\frac{12V}{{R}_{ab}+12Ω}$=0.1A，
整理可得：R_ab²-30R_ab+216=0，
解得：R_ab=12Ω，或R_ab=18Ω，
当时R_ab=12Ω，电路中的电流分别为：I_a=$\frac{U}{{R}_{ab}+{R}_{L}}$=$\frac{12V}{12Ω+12Ω}$=0.5A，
所以：I_c=I_a+0.1A=0.5A+0.1A=0.6A，
串联电路中电流处处相等，所以P在c点时，电流超过的灯泡的额定电流，则灯泡消耗功率超过额定功率，不合理，故舍去；
当时R_ab=18Ω，电路中的电流分别为：I_a=$\frac{U}{{R}_{ab}+{R}_{L}}$=$\frac{12V}{18Ω+12Ω}$=0.4A，
所以：I_c=I_a+0.1A=0.4A+0.1A=0.5A，电流不超过灯泡的额定电流，符合题意．
当滑片在a端，变阻器连入阻值为它的最大值，此时变阻器两端分得电压最大，所以滑片P移动的过程中电压表示数的最大值：
U_V最大=I_aR_ab=0.4A×18Ω=7.2V；
（4）由串联电路特点和欧姆定律和P=I²R，滑动变阻器的功率：
P=（$\frac{U}{{R}_{滑}+{R}_{L}}$）²×R_滑=$\frac{（12V）^{2}}{（{{R}_{滑}+12Ω）}^{2}}$×R_滑
=$\frac{（{12V）}^{2}}{（{{R}_{滑}-12Ω）}^{2}+4{R}_{滑}×12Ω}$×R_滑，
由上式可知，当R_滑=12Ω，P有最大值，
P_最大=$\frac{（{12V）}^{2}}{4×12Ω×12Ω}$×12Ω=3W．
答：（1）小灯泡正常工作时的电阻为12Ω．
（2）电源电压为12V．
（3）滑片P移动的过程中电压表示数的最大值7.2V．
（4）滑片P移动的过程中滑动变阻器电功率的最大值为3W．

点评 本题考查了串联电路特点、欧姆定律公式、电功率公式的应用，解题的关键是由电路中电流变化计算出滑动变阻器的最大值，本题在计算变阻器的最大功率值还用到数学求极值，有一定难度．