题目内容

在如图所示的电路中，电源两端的电压U保持不变．当闭合开关S₁、S₂、断开开关S₃时，电阻R₁消耗的电功率P₁=3W，电压表V₁的示数为U₁，电流表A的示数为I₁；当闭合开关S₂、断开开关S₁、S₃时，电阻R₁消耗的电功率P₁′=0.75W，电路消耗的总功率为P，电流表A的示数为I₂，电压表V₂的示数为U₂；当闭合开关S₁、S₃、断开开关S₂时，电路消耗的总功率为P′，已知：P：P′=1：8．求：
（1）I₁与I₂的比值；
（2）U₁与U₂的比值；
（3）通过开关的断开或闭合改变电路结构，使电路消耗的电功率最大，求最大电功率．

解：当只闭合开关S₁、S₂时，等效电路如答图甲所示；
只闭合开关S₂时，等效电路如答图乙所示；
当闭合开关S₁、S₃、断开开关S₂时，等效电路如答图丙所示．

（1）∵P₁=3W，P₁′=0.75W，则根据P=I²R得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2；
（2）∵电源的电压不变，
∴由甲、乙两图可得：U=I₁R₁=I₂（R₁+R₂+R₃）
∴R₁=R₂+R₃----------①
由乙、丙两图可得：P=I₂U；P=I_总U；
且P：P′=1：8；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴I₂= $\text{[math]}$ I_总，
I₁=2I₂=2× $\text{[math]}$ I_总= $\text{[math]}$ I_总，
∴由图丙知：I₃=I_总-I₁=I_总- $\text{[math]}$ I_总= $\text{[math]}$ I_总，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3-----------②
由①②得： $\text{[math]}$ =2-----------③
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3．

（3）开关均闭合时，等效电路图如丁所示，
三个电阻并联，此时电路消耗的功率最大；
则P₁= $\text{[math]}$ =3W，P₂= $\text{[math]}$ ，P₃= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即P₂= $\text{[math]}$ P₁= $\text{[math]}$ ×3W=4.5W，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即P₃=3P₁=3×3W=9W，
∴P_m=P₁+P₂+P₃=3W+4.5W+9W=16.5W．
答：（1）I₁与I₂的比值为2：1；
（2）U₁与U₂的比值为3：1；
（3）电路消耗的电功率最大电功率为17.6W．
分析：先画出三种情况的等效电路图：
（1）根据P=I²R结合图甲和图乙中电阻R₁消耗的电功率求出I₁与I₂的比值．
（2）根据P=UI结合图乙和图丙中电路消耗的总功率求出两者的电流之比，再根据电源的电压不变分别根据欧姆定律和电阻的串联特点表示出电源的电压，利用电流关系分别得出R₂和R₃与R₁之间的关系，进一步求出U₁与U₂的比值．
（3）由实物电路图可知，所有开关均闭合，R₁、R₂、R₃三个电阻并联使用时电路中的功率最大；根据并联电路的功率与电阻之间的特点分别求出电阻消耗的电功率，即可得出电路消耗的最大功率．
点评：本题考查了学生对串、并联电路的判断，串、并联电路的特点以及欧姆定律的应用．本题难点在于很多同学无法将三种状态下的功率关系及电压关系联系在一起，故无法找到突破口．解答此类问题时，可将每一种情况中的已知量和未知量都找出来，仔细分析找出各情况中的关联，然后分别列出等式求解．