Question

6．现有质量均为m的甲、乙两种金属，密度分别为ρ₁、ρ₂（ρ₁＜ρ₂）．按一定比例混合后，平均密度为$\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}$，求混合后的最大质量为（$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}$+1）m（不考虑混合后的体积变化）

Answer 1

分析 合金的体积等于两金属的体积之和，合金的质量等于两金属的质量之和，根据密度公式分别求出两金属等质量和等体积混合时合金的密度，即可判断合金混合的方式，然后结合两金属的质量即可得出答案．

解答 解：合金的密度：
ρ_合=$\frac{{m}_{合}}{{ρ}_{合}}$=$\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{V}_{1}+{V}_{2}}$；
当两金属等质量m混合时，合金的密度：
ρ=$\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{V}_{1}+{V}_{2}}$=$\frac{m+m}{\frac{m}{{ρ}_{1}}+\frac{m}{{ρ}_{2}}}$=$\frac{2}{\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{{ρ}_{1}{ρ}_{2}}}$=$\frac{2{ρ}_{1}{ρ}_{2}}{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}$；
当两金属等体积V混合时，合金的密度：
ρ=$\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{V}_{1}+{V}_{2}}$=$\frac{{ρ}_{1}V+{ρ}_{2}V}{V+V}$=$\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}$；
综上可知，要使得平均密度为$\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}$，两金属应等体积混合；
因ρ₁＜ρ₂，且原来两金属的质量相等，
所以，金属甲的体积大于金属乙的体积，
要使得混合后的质量最大，则乙金属全部用完，甲金属有剩余，
则两金属混合后的最大质量为：
m_总=m′+m=ρ₁V₁′+m=ρ₁V₂+m=ρ₁$\frac{m}{{ρ}_{2}}$+m=（$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}$+1）m．
故答案为：（$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}}$+1）m．

点评 本题考查了有关混合物质密度的计算，关键是知道两金属等质量混合时合金的密度为ρ_合=$\frac{2{ρ}_{1}{ρ}_{2}}{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}$、等体积混合时合金的密度为ρ_合=$\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}$．