Question

1．如图所示，甲、乙两个圆柱形容器的底面积分别为0.01m²和0.02m²，甲容器中盛有一定量的水，水面距容器底部0.4m，乙容器中盛有质量为4.8kg的酒精（ρ_酒精=0.8×10³kg/m³）．求：
（1）甲容器中水的质量m_水；
（2）乙容器中酒精液面离容器底部的距离h_酒精；
（3）若在甲、乙两个容器中分别抽出相同深度的水和酒精后，两容器中剩余液体的质量为m_水′和m_酒精′，请通过计算比较它们的大小关系及其对应的抽取深度h的取值范围．

Answer 1

分析 （1）知道甲容器的底面积和水面距容器底部的距离，根据V=Sh求出水的体积，利用m=ρV求出甲容器中水的质量；
（2）知道乙容器中酒精的质量和酒精的密度，根据V=$\frac{m}{ρ}$求出酒精的体积，又知道乙容器的底面积，利用h=$\frac{V}{S}$求出乙容器中酒精液面离容器底部的距离；
（3）根据密度公式表示出两容器中剩余液体的质量，根据剩余质量相等得出抽出液体的深度，然后得出答案．

解答 解：（1）甲容器中水的体积：
V_水=S_甲h_水=0.01m²×0.4m=4×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，甲容器中水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×4×10^-3m³=4kg；
（2）乙容器中酒精的体积：
V_酒精=$\frac{{m}_{酒精}}{{ρ}_{酒精}}$=$\frac{4.8kg}{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=6×10^-3m³，
乙容器中酒精液面离容器底部的距离：
h_酒精=$\frac{{V}_{酒精}}{{S}_{乙}}$=$\frac{6×1{0}^{-3}{m}^{3}}{0.02{m}^{2}}$=0.3m；
（3）在甲、乙两个容器中分别抽出相同深度h的水和酒精后，剩余的质量分别为：
m_水′=m_水-ρ_水S_甲h=4kg-1.0×10³kg/m³×0.01m²×h，
m_酒精′=m_酒精-ρ_酒精S_甲h=4.8kg-0.8×10³kg/m³×0.02m²×h，
当m_水′=m_酒精′时，
4kg-1.0×10³kg/m³×0.01m²×h=4.8kg-0.8×10³kg/m³×0.02m²×h，
解得：h=$\frac{2}{15}$m，
当m_水′＞m_酒精′时，
4kg-1.0×10³kg/m³×0.01m²×h＞4.8kg-0.8×10³kg/m³×0.02m²×h，
解得：h＜$\frac{2}{15}$m，
当m_水′＜m_酒精′时，
4kg-1.0×10³kg/m³×0.01m²×h＜4.8kg-0.8×10³kg/m³×0.02m²×h，
解得：h＞$\frac{2}{15}$m，
所以可得：
当0≤h＜$\frac{2}{15}$m时，m_酒精′＜m_水′，
当h=$\frac{2}{15}$m，m_酒精′=m_水′，
当$\frac{2}{15}$m＜h≤0.3m时，m_酒精′＞m_水′．
答：（1）甲容器中水的质量为4kg；
（2）乙容器中酒精液面离容器底部的距离为0.3m；
（3）当0≤h＜$\frac{2}{15}$m时，m_酒精′＜m_水′，
当h=$\frac{2}{15}$m时，m_酒精′=m_水′，
当$\frac{2}{15}$m＜h≤0.3m时，m_酒精′＞m_水′．

点评 本题考查了密度公式的应用，关键是得出剩余酒精和水的质量相等时所抽出液体的深度．