题目内容
如图（a）所示，装有部分水的试管竖直漂浮在容器内的水面上，试管内水面与容器底部的距离为h，试管壁的厚度不计，粗细均匀．现将某物块放入试管，物块漂浮在试管内的水面上，试管仍漂浮在容器内的水面上，此时试管内水面与容器底部的距离为h′，如图（b）所示，则h′＞
＞
h（选填“＞”、“＜”或“=”）．取走该物块，将另一物块完全浸没在该试管水中，发现试管内水面与容器底部的距离恰好又变为h，如图（c）所示，若试管横截面积与容器横截面积之比为1：5，则新放入的物块密度为1.25×103
1.25×103
千克/米3．分析：根据试管漂浮、物体下沉，可分别表示出将物块放入后，物块的排水体积、试管的排水体积、容器内液面上升的体积，再利用浮力公式、重力、质量公式将其中的等量关系表示出来，最终找出物体密度与水的密度的关系．
解答：解：（1）设S1表示试管底面积，S2表示容器底面积，当漂浮时，h0表示试管中液体上升的高度，h1表示试管底部应再下沉的深度，h2表示因试管下沉容器液面上升的高度，
因物块在试管内漂浮，F浮1=G物1，即：ρ水gh0S1=m物1g；∴h0=
，
h1表示试管底部应再下沉的深度，因试管中放入的物块而使试管受到的浮力会增加，所以增加量△F浮=G物1，即：ρ水gS1h1=m物1g，∴h1=
，
试管在容器中应再排开的水的体积△V2=（S2-S1）h2，容器中因试管放入的物块而使试管受到的浮力会增加，排开的水的体积增大，所以根据阿基米德原理得：△F浮=G物1，即：ρ水g（S2-S1）h2=m物1g，∴h2=
，
由题意可得：
h′=h-（h1-h2）+h0
=h-（
-
）-
=h+
＞h．
（2）当放入试管中的另一物块下沉时，H0表示试管中液体上升的高度，H1表示试管底部应再下沉的深度，H2表示因试管下沉容器液面上升的高度，
试管内的物体下沉，排开水V1=V物=S1H0；
试管在容器中应再排开的水的体积V2=S2H2=S1H1
由题意可得：h′=h-（H1-H2）+H0．
因为h′=h，则（H1-H2）=H0，此时S2=5S1，所以H2=
．
又因为试管仍然漂浮，所以新排开的水重等于新加入的物体重，G物=ρ水gV2，则m物=ρ水V2．
物块的密度：ρ物=
=
=
=
，
此时将H2=
代入可得：ρ物=
=1.25×103kg/m3．
故答案为：＞，1.25×103．
因物块在试管内漂浮，F浮1=G物1，即：ρ水gh0S1=m物1g；∴h0=
| m物1 |
| ρ水S1 |
h1表示试管底部应再下沉的深度，因试管中放入的物块而使试管受到的浮力会增加，所以增加量△F浮=G物1，即：ρ水gS1h1=m物1g，∴h1=
| m物1 |
| ρ水S1 |
试管在容器中应再排开的水的体积△V2=（S2-S1）h2，容器中因试管放入的物块而使试管受到的浮力会增加，排开的水的体积增大，所以根据阿基米德原理得：△F浮=G物1，即：ρ水g（S2-S1）h2=m物1g，∴h2=
| m物1 |
| ρ水(S2-S1) |
由题意可得：
h′=h-（h1-h2）+h0
=h-（
| m物1 |
| ρ水S1 |
| m物1 |
| ρ水(S2-S1) |
| m物1 |
| ρ水S1 |
=h+
| m物1 |
| ρ水(s2-s1) |
（2）当放入试管中的另一物块下沉时，H0表示试管中液体上升的高度，H1表示试管底部应再下沉的深度，H2表示因试管下沉容器液面上升的高度，
试管内的物体下沉，排开水V1=V物=S1H0；
试管在容器中应再排开的水的体积V2=S2H2=S1H1
由题意可得：h′=h-（H1-H2）+H0．
因为h′=h，则（H1-H2）=H0，此时S2=5S1，所以H2=
| H1 |
| 5 |
又因为试管仍然漂浮，所以新排开的水重等于新加入的物体重，G物=ρ水gV2，则m物=ρ水V2．
物块的密度：ρ物=
| m物 |
| V物 |
| ρ水V2 |
| V1 |
| ρ水S2H2 |
| S1H0 |
| ρ水S1H1 |
| S1(H1-H2) |
此时将H2=
| H1 |
| 5 |
| 5ρ水 |
| 4 |
故答案为：＞，1.25×103．
点评：解决此题关键是要对物体放入试管前后，对试管内外液面的变化、体积的变化等有一个清楚的认识，并能从中找出等量关系，再利用相关公式来进行求解，此题在推理过程中要求具有清晰的思路，难度较大．
练习册系列答案
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