题目内容

11.如图所示,质量分布均匀的、由不同材料制成的两个正方体物块甲和乙叠放在水平桌面上,已知甲物块的质量为400g,乙物块的质量为500g,甲对乙的压强与乙对桌面的压强相等;把它们分别投入足够多的水中,甲漂浮在水面上.下列有关的甲、乙两物块的密度和甲、乙两物块浸入水中的深度的判断中,正确的是(  )
A.甲、乙的密度之比ρ甲:ρ乙=27:10
B.甲、乙的密度之比ρ甲:ρ乙=5:4
C.甲、乙浸入水中的深度之比h甲:h乙=9:5
D.甲、乙浸入水中的深度之比h甲:h乙=5:9

分析 (1)水平面上物体的压力和自身的重力相等,根据p=$\frac{F}{S}$表示出甲对乙的压强和乙对桌面的压强,根据甲对乙的压强与乙对桌面的压强相等得出等式即可求出甲乙的边长之比,根据体积公式和ρ=$\frac{m}{V}$求出甲乙的密度之比;
(2)甲漂浮在水面上且甲的密度大于乙的密度,据此可知乙的密度与水的密度关系,从而得出乙在水中的状态,根据物体浮沉条件和阿基米德原理求出甲、乙浸入水中的深度之比.

解答 解:(1)因水平面上物体的压力和自身的重力相等,
所以,甲对乙的压强:
p甲=$\frac{{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{甲}g}{{{L}_{甲}}^{2}}$,
乙对桌面的压强:
p乙=$\frac{{F}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}+{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{甲}g+{m}_{乙}g}{{{L}_{乙}}^{2}}$,
因甲对乙的压强与乙对桌面的压强相等,
所以,$\frac{{m}_{甲}g}{{{L}_{甲}}^{2}}$=$\frac{{m}_{甲}g+{m}_{乙}g}{{{L}_{乙}}^{2}}$,
则$\frac{{{L}_{甲}}^{2}}{{{L}_{乙}}^{2}}$=$\frac{{m}_{甲}g}{{m}_{甲}g+{m}_{乙}g}$=$\frac{{m}_{甲}}{{m}_{甲}+{m}_{乙}}$=$\frac{400g}{400g+500g}$=$\frac{4}{9}$,
解得:$\frac{{L}_{甲}}{{L}_{乙}}$=$\frac{2}{3}$,
甲乙的密度之比:
$\frac{{ρ}_{甲}}{{ρ}_{乙}}$=$\frac{\frac{{m}_{甲}}{{V}_{甲}}}{\frac{{m}_{乙}}{{V}_{乙}}}$=$\frac{{m}_{甲}}{{m}_{乙}}$×$\frac{{V}_{乙}}{{V}_{甲}}$=$\frac{{m}_{甲}}{{m}_{乙}}$×($\frac{{L}_{乙}}{{L}_{甲}}$)3=$\frac{400g}{500g}$×($\frac{3}{2}$)3=$\frac{27}{10}$,故A正确、B错误;
(2)因甲漂浮在水面上,且由(1)可知甲的密度大于乙的密度,
所以,ρ水>ρ甲>ρ乙,
则乙在水中也是处于漂浮状态,
因物体漂浮时受到的浮力和自身的重力相等,即F浮=G=mg---------①,
由阿基米德原理可得F浮=ρ液gV排=ρ液gSh浸=ρ液gL2h浸-----------②
由①②可得mg=ρ液gL2h浸,即h浸=$\frac{m}{{ρ}_{液}{L}^{2}}$,
则甲、乙浸入水中的深度之比:
$\frac{{h}_{甲}}{{h}_{乙}}$=$\frac{\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{水}{{L}_{甲}}^{2}}}{\frac{{m}_{乙}}{{ρ}_{水}{{L}_{乙}}^{2}}}$=$\frac{{m}_{甲}}{{m}_{乙}}$×$\frac{{{L}_{乙}}^{2}}{{{L}_{甲}}^{2}}$=$\frac{400g}{500g}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{5}$,故C正确、D错误.
故选AC.

点评 本题考查了压强公式和重力公式、密度公式、物体浮沉条件、阿基米德原理的应用,知道水平面上物体的压力和自身的重力相等.

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