Question

7．（1）质量相等的甲、乙两个实心球，它们的密度之比为5：3．若将甲、乙都放入水中，静止时它们受到的浮力之比为2：3，则乙球的密度是0.9×10³kg/m³．
（2）若把该乙球轻轻放入盛满酒精的溢水杯中，待其静止时溢出酒精的质量是40g，若把它再轻轻放入盛满水的溢水杯中，待其静止时溢出水的质量是45g（ρ_酒精=0.8×10³kg/m³）．

Answer 1

分析 （1）知道甲乙两实心球的质量相同和密度关系，利用密度公式求两球的体积大小关系；根据两球在水中静止时受到的浮力大小关系确定甲和乙所处的状态（甲下沉、乙漂浮）；甲下沉，受到的浮力F_甲=ρ_水V_甲g；乙漂浮，受到的浮力F_乙=m_乙g=ρ_乙V_乙g；根据浮力关系求乙的密度与水的密度关系；
（2）乙球密度大于酒精的密度，在酒精中会下沉，根据密度公式求出乙球的体积，从而求出乙球的质量；
当乙球放入水中时，由于乙球的密度小于水的密度，因此它在水中漂浮，受到的浮力等于乙球的重力等于排开水的重，再利用重力公式求排开（溢出）水的质量．

解答 解：
（1）由题知，m_甲=m_乙，
因为ρ=$\frac{m}{V}$，ρ_甲：ρ_乙=5：3，
所以V_甲：V_乙=3：5；
两球在水中静止时的状态有下面几种情况：
①甲乙都下沉．如果是这样，排开水的体积之比等于V_甲：V_乙=3：5，由阿基米德原理可知受到的浮力也是3：5，而F_甲：F_乙=2：3，故①不可行；
②甲乙都漂浮：受到的浮力都等于自重，而两球质量相等、重力相等，受浮力相等，而F_甲：F_乙=2：3，故②不可行；
③甲漂浮、乙下沉：甲漂浮，F_甲=G_甲=mg；乙下沉，F_乙＜G_乙=mg，所以F_甲＞F_乙，而F_甲：F_乙=2：3，故③不可行；
④甲下沉、乙漂浮：甲下沉，F_甲＜G_甲=mg；乙漂浮，F_乙=G_乙=mg，所以F_甲＜F_乙，而F_甲：F_乙=2：3，故④可行；
甲下沉，受到的浮力F_甲=ρ_水V_甲g；乙漂浮，受到的浮力F_乙=m_乙g=ρ_乙V_乙g；
因为F_甲：F_乙=2：3，
即ρ_水V_甲g：ρ_乙V_乙g=2：3，
ρ_乙=$\frac{3{ρ}_{水}{V}_{甲}}{2{V}_{乙}}$=$\frac{3{ρ}_{水}×3}{2×5}$=$\frac{9}{10}$ρ_水=$\frac{9}{10}$×1×10³kg/m³=0.9×10³kg/m³．
（2）因为ρ_乙＞ρ_酒精，所以乙球在酒精中下沉，乙球排开的酒精的体积（乙球的体积）：
V_乙=V_排酒精=$\frac{{m}_{排}}{{ρ}_{酒精}}$=$\frac{40g}{0.8g/c{m}^{3}}$=50cm³；
根据ρ=$\frac{m}{V}$得乙球的质量：
m_乙=ρ_乙V_乙=0.9g/cm³×50cm³=45g；
因为ρ_乙＜ρ_水，所以乙球在水中漂浮，
根据漂浮条件：F_浮=G_乙=G_排水，
由G=mg可得：
m_排水=m_乙=45g，即溢出水的质量为45g．
故答案为：9×10³；45．

点评 本题考查了学生对密度公式、阿基米德原理、物体的浮沉条件的掌握和运用，第一问中根据两球在水中静止时受到的浮力大小关系确定甲和乙所处的状态是解题的关键；第二问中利用密度关系判断乙球在水中、酒精中的状态是解题的关键