Question

13．汽车沿着指向从甲地开往乙地．
（1）若在一半路程的平均速度为v₁，后一半路程为v₂，则汽车全程的平均速度$\overline{v}$为多少？
（2）若汽车在全程所用时间的前一半的速度为v₁和后一半的速度为v₂（v₁≠v₂），则全程平均速度是多少？
（3）两种情况下的平均速度哪个大？

Answer 1

分析 （1）由速度公式的变形公式求出汽车的运动时间，然后由平均速度公式求出全程的平均速度；
（2）由速度公式的变形公式求出前一半时间通过的路程和后一半时间通过的路程，然后由平均速度公式求出全程的平均速度；
（3）利用作差法比较两者平均速度的大小关系．

解答 解：
（1）设甲乙两地间的距离为2s，则前半段与后半段的路程均为s，
由v=$\frac{s}{t}$得，汽车的运动时间分别为：
t₁=$\frac{s}{{v}_{1}}$，t₂=$\frac{s}{{v}_{2}}$，
则汽车全程的平均速度：
$\overline{v}$=$\frac{2s}{{t}_{1}+{t}_{2}}$=$\frac{2s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}$=$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（2）设全程的时间为2t，
则前一半时间通过的路程为s₁=v₁t，后一半时间通过的路程为s₂=v₂t，
所以，全程的平均速度：
v=$\frac{{s}_{1}+{s}_{2}}{2t}$=$\frac{{v}_{1}t+{v}_{2}t}{2t}$=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
（3）因v₁≠v₂，
所以，v-$\overline{v}$=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$-$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}-4{v}_{1}{v}_{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$=$\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$＞0，
则（2）的平均速度大于（1）的平均速度．
答：（1）汽车全程的平均速度$\overline{v}$为$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（2）全程平均速度是$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
（3）通过比较可知（2）的平均速度大于（1）的平均速度．

点评 本题考查了求汽车的平均速度问题，熟练应用平均速度公式及其变形公式即可正确解题，解题时要注意，平均速度是物体的路程与所用时间的比值，求平均速度应先求出路程与所对应的运动时间．