Question

10．两个均匀实心正方体甲、乙，如图所示放置在水平地面上，乙对水平地面的压强为p₁，若将两正方体同时沿竖直方向切去相同的体积△V后（△V=0.5V_甲），此时乙对地面的压强为p₂，下列判断正确的是（　　）

• A． p₁一定大于p₂
• B． p₁一定小于p₂
• C． p₁一定等于p₂
• D． p₁可能大于p₂

Answer 1

分析 由于物体对水平表面的压力都等于物体的重力，则如图所示放置时p₁=$\frac{{F}_{1}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}+{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{乙}}$+$\frac{{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$；当切去相同的体积△V后，压强p₂=$\frac{{F}_{2}}{{S}_{乙}′}$=$\frac{\frac{1}{2}{G}_{甲}+{G}_{乙}′}{{S}_{乙}′}$=$\frac{{G}_{甲}}{2{S}_{乙}′}$+$\frac{{G}_{乙}′}{{S}_{乙}′}$；
由于乙正方体是沿竖直方向切去的体积，则$\frac{{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{乙}′}{{S}_{乙}′}$；所以，关键是判断$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{乙}}$与$\frac{{G}_{甲}}{2{S}_{乙}′}$的大小；根据分式可知只要比较出S_乙与2S_乙′的大小即可；
S_乙与2S_乙′的大小，就取决于边长的变化；所以，根据△V=0.5V_甲，V_甲=h_甲³，△V_乙=h_乙²L_乙，判断边长的变化．

解答 解：由于物体对水平表面的压力都等于物体的重力，则如图所示放置时，
乙对水平地面的压强为p₁=$\frac{{F}_{1}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}+{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{乙}}$+$\frac{{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$；
当切去相同的体积△V后，乙对地面的压强p₂=$\frac{{F}_{2}}{{S}_{乙}′}$=$\frac{\frac{1}{2}{G}_{甲}+{G}_{乙}′}{{S}_{乙}′}$=$\frac{{G}_{甲}}{2{S}_{乙}′}$+$\frac{{G}_{乙}′}{{S}_{乙}′}$；
乙正方体放置在水平地面上，则p_乙=$\frac{{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{乙}g}{{S}_{乙}}$=$\frac{{ρ}_{乙}{V}_{乙}g}{{S}_{乙}}$=$\frac{{ρ}_{乙}{S}_{乙}{h}_{乙}g}{{S}_{乙}}$=ρ_乙gh_乙，
当乙正方体是沿竖直方向切去时，p_乙′=$\frac{{G}_{乙}′}{{S}_{乙}′}$=$\frac{{m}_{乙}′g}{{S}_{乙}′}$=$\frac{{ρ}_{乙}{V}_{乙}′g}{{S}_{乙}′}$=$\frac{{ρ}_{乙}{S}_{乙}′{h}_{乙}g}{{S}_{乙}′}$=ρ_乙gh_乙，
所以，$\frac{{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{乙}′}{{S}_{乙}′}$；
由于沿竖直方向切去相同的体积，如图：

则：△V=0.5V_甲=0.5h_甲³，△V=△V_乙=h_乙²L_乙，
所以，0.5h_甲³=h_乙²L_乙，即：h_甲²×$\frac{1}{2}$h_甲=h_乙²L_乙，
由图可知：h_甲＜h_乙，则：h_甲²＜h_乙²，
所以，$\frac{1}{2}$h_甲＞L_乙，
由图可知：h_甲＜h_乙，则$\frac{1}{2}$h_甲＜$\frac{1}{2}$h_乙
所以，$\frac{1}{2}$h_乙＞L_乙；
由于S_乙^′=h_乙（h_乙-L_乙）=h_乙²-h_乙L_乙＞h_乙²-h_乙×$\frac{1}{2}$h_乙=$\frac{1}{2}$h_乙²=$\frac{1}{2}$S_乙，
所以，2S_乙′＞S_乙；
则$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{乙}}$＞$\frac{{G}_{甲}}{2{S}_{乙}′}$；
由此分析可知：p₁＞p₂．
故选A．

点评 本题考查了压强公式的应用，注意沿竖直方向切去正方体，正方体本身的压强不变；难点是甲物体对乙物体的压力变化，引起的乙对地面压强的变化比较，所以关键是判断乙正方体切出后底面积的变化．