观察：1×3+1=2² ； 2×4+1=3² ；3×5+1=4² ；4×6+1=5²  ；  ……
请你用一个字母的等式表示你发现的规律：（        ）

如图，已知ABC的面积S_△ABC=1
在图（1）中，若，则S_△A1B1C1=；
在图（2）中，若，则S_△A2B2C2=；
在图（3）中，若，则S_△A3B3C3=；
按此规律，若，则S_△A8B8C8=（    ）。

观察下列各式： 1+1×3 = 2²，1+2×4 = 3²， 1+3×5 = 4²，…… 请将你找出的规律用公式表示出来：（     ）。

观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上写出相应的等式； ④ 　 　 和⑤            。
（2）猜想写出与第n个点阵相对应的等式                         。

有趣的平方数如：（1）1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，1+3+5+7= 4²，…… ，1+3+…+（     ）=n²
（2）1×2×3×4+1=5²，2×3×4×5+1=11²，3×4×5×6+1=19² ，…… ，（     ）+1=(n²+3n+1)²

观察一下几组勾股数，并寻找规律：① 3， 4， 5； ② 5，12，13； ③ 7，24，25； ④ 9，40，41；…… 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：（    ）。

（1）解方程：
①的解x=        ；
②的解x=        ；
③的解x=        ；
④的解x=        ；
                     ……
（2）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解。

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为一边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为一边作第三个正方形AEGH……
（1）记正方形ABCD的边长为a₁=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a₂，a₃，a₄，…，a_n，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长a_n的表达式。

如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：