观察：计算：

1

1×2

+

1

2×3

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)=1-

1

3

=

2

3

；

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)=1-

1

4

=

3

4

；
计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=______

观察下列等式：
1.

1 2

=

0+ 1 2

，2.

1 3

= 

1+ 1 3

，3.

1 4

=

2+ 1 4

，4.

1 5

=

3+ 1 5

，…
（1）根据以上规律猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式是否成立？

你能求（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）的值吗
遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值：
（1）（x-1）（x+1）=______；（2）（x-1）（x²+x+1）=______；
（3）（x-1）（x³+x²+x+1）=______；…
由此我们可以得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=______；
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1；
（2）（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…（-2）+1．

已知1+3=4=2²，1+3+5=9=3²，1+3+5+7=16=4²，1+3+5+7+9=25=5²，…，根据前面各式的规律可猜测：1+3+5+7+…+（2n+1）=______（其中n为自然数）．

观察下列等式：
①1-

1

2

=

1

1×2

；
②

1

2

-

1

3

=

1

2×3

；
③

1

3

-

1

4

=

1

3×4

；
④

1

4

-

1

5

=

1

4×5

；
…
（1）猜想并写出第n个算式：______；
（2）请说明你写出的等式的正确性；
（3）把上述n个算式的两边分别相加，会得到下面的求和公式吗？请写出具体的推导过程．

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=______；
（4）我们规定：分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数．任意一个真分数都可以表示成不同的单位分数的和的形式，且有无数多种表示方法．根据上面得出的两个结论，请将真分数

2

3

表示成不同的单位分数的和的形式．（写出一种即可）

（1）观察下列各式：6²-4²=4×5，11²-9²=4×10，17²-15²=4×16…试用你发现的规律填空：51²-49²=4×______，66²-64²=4×______；
（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．

观察下列各式：0，x，x²，2x³，3x⁴，5x⁵，8x⁶，…．试按此规律写出的第10个式子是______．

从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=1²；1+3=4=2²；1+3+5=9=3²；1+3+5+7=16=4²；1+3+5+7+9=25=5²；…按此规律，请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时）相加，其和是______．