一元二次方程的根

如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．若点E从在圆周上运动一周，则点F所经过的路径长为__________．

解下列方程：

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．

下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．

证明：如图，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点， ∴MA=MC ．．．

任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于，AB=2，D为圆上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD与点E，则△BDC的周长是 ．

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

定义：如果两个全等的三角形有一条公共边且位于公共边的异侧，我们称这两个三角形成轴全等，公共边所在直线称为全等轴．

（1）已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（4，7）、（0，4）、（4，2），若△ACD与△ABC成轴全等，全等轴为直线AC，请直接写出D点坐标．

（2）如图，在平面直角坐标系中，△ABC两个顶点B、C坐标分别为（-14，0）、（，0），∠ABC＝45°，AC与y轴交于点E，点E的坐标为（0，），点F是OC上一点，坐标为(10，0) ．如果M、N为△ABC的边上的两点，是否存在△OMN与△OFM以OM所在直线为全等轴的轴全等？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是 ．

在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：

根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为_______枚．

下列事件中，哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是随机事件？

(1)中秋节晚上一定能看到月亮；

(2)各边相等的多边形是正多边形；

(3)在面值为1元、2元、5元的三张人民币中任取两张，面值的和小于8元；

(4)买一张彩票，末位数字是8；

(5)从装有2个红球和3个黄球的袋子中摸出一个白球．

一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.

（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；

（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．