2.我们学习了整式的乘法后,可进行如下计算:(a+b)1=a+b;(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3;
…
如果我们对(a+b)n (n取正整数)的计算结果中各项系数进一步研究,可以列出下表:
上表称为“杨辉三角”,揭示了二项式乘方展开式的规律.
(1)请仔细观察表中的规律,写出(a+b)4展开式中所缺的系数:(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4
(2)请写出(a+b)5的展开式:(a+b)5=(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(3)当n=1、2、3、4、…时,(a+b)n展开式的第三项系数分别为0、1、3、6、…,猜想(a+b)n展开式的第三项系数为$\frac{n(n-1)}{2}$(用含n的代数式表示);
(4)当n=1、2、3、4、…时,(a+b)n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…,猜想(a+b)n展开式的各项系数之和为2n(用含n的代数式表示).
0 281197 281205 281211 281215 281221 281223 281227 281233 281235 281241 281247 281251 281253 281257 281263 281265 281271 281275 281277 281281 281283 281287 281289 281291 281292 281293 281295 281296 281297 281299 281301 281305 281307 281311 281313 281317 281323 281325 281331 281335 281337 281341 281347 281353 281355 281361 281365 281367 281373 281377 281383 281391 366461
…
如果我们对(a+b)n (n取正整数)的计算结果中各项系数进一步研究,可以列出下表:
| (a+b)1=a+b | 1 | 1 | ||||||||
| (a+b)2=a2+2ab+b2 | 1 | 2 | 1 | |||||||
| (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||||
| … | … |
(1)请仔细观察表中的规律,写出(a+b)4展开式中所缺的系数:(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4
(2)请写出(a+b)5的展开式:(a+b)5=(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(3)当n=1、2、3、4、…时,(a+b)n展开式的第三项系数分别为0、1、3、6、…,猜想(a+b)n展开式的第三项系数为$\frac{n(n-1)}{2}$(用含n的代数式表示);
(4)当n=1、2、3、4、…时,(a+b)n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、…,猜想(a+b)n展开式的各项系数之和为2n(用含n的代数式表示).