如图①.△ABC内接于⊙O.且∠ABC=∠C.点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC.DE交直线AB于点E.连接BD．(1)求证:∠ADB=∠E,(2)求证:AD2=AC•AE,(3)当点——青夏教育精英家教网——

如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连接BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD²=AC•AE；
（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明．

如图AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB于点E，在

上取一点F，连接CF交AB于点M，连接DF并延长交BA的延长线于点N．
求证：
（1）∠DFC=∠DOB；
（2）MN•OM=MC•FM．

如图，BE是△ABC的外接⊙O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：

；
（2）已知：AB=11，AD=3，CD=6，求⊙O的直径BE的长．

如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O与点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）若AE=6，DE=9，求EF的长．

如图，已知△ABC三顶点在⊙O上，D为

的中点，AD与BC相交于点E，AC的延长线交过C、D、E三点的圆⊙O₁于点F．
（1）求证：∠BAD=∠DFE；
（2）求证：△AEC∽△FED；
（3）AB=AD是否成立？若成立则证明之，若不成立，则请你增加一个条件使其成立，并说明理由．

如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，求CD的长．

半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在

上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到

的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G．
（1）求证：AE•BE=EF•EG；
（2）连接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的长．

如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过C、D、E三点的圆O₁交AC的延长线于点F，连接EF、DF．
（1）求证：△AEF∽△FED；
（2）若AD=6，DE=3，求EF的长；
（3）若DF∥BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．

某“研究性学习小组”遇到了以下问题，请参与：
已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取

上异于A、B的点M．设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N．

（1）如图1，图2，图3，M分别为

的中点、三分之一点、四分之一点，△ABC的边长均为2，分别测量出AK、BN的长，计算AK•BN的值（精确到0.01）并将结果填入下表中：

	△ABC的边长	AK•BN的值
图1	2
图2	2
图3	2

（2）如图4，当M为

上任意一点时，根据（1）的结果，猜想AK•BN与AB的数量关系式为______；
（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明．

0 145368 145376 145382 145386 145392 145394 145398 145404 145406 145412 145418 145422 145424 145428 145434 145436 145442 145446 145448 145452 145454 145458 145460 145462 145463 145464 145466 145467 145468 145470 145472 145476 145478 145482 145484 145488 145494 145496 145502 145506 145508 145512 145518 145524 145526 145532 145536 145538 145544 145548 145554 145562 366461