如图.在△ABC中.AB=AC.内切圆O与边BC.AC.AB分别切于D.E.F．(1)求证:BF=CE,(2)若∠C=30°.CE=2.求AC．——青夏教育精英家教网——

如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F．
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE=2

为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形（图甲）和直角三角形（图乙）进行研究．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F．

（1）用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长L和面积S．（结果精确到0.1厘米）

	AC	BC	AB	r	L	s
图甲				0.6
图乙			5.0	1.0

（2）观察图形，利用上表实验数据分析、猜测特殊三角形的r与L、S之间关系，并证明这种关系对任意三角形（图丙）是否也成立？

阅读材料：如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面积．

∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S_△OAB=

AB•r，S_△OBC=

BC•r，S_△OCA=

CA•r
∴S_△ABC=

l•r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a₁、a₂、a₃、…、a_n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．

某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．
（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心P；
（2）若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积．

如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

张宇同学是一名天文爱好者，他通过查阅资料得知：地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆的两个同心圆，且这两个同心圆在同一平面上（如图所示）．由于地球和火星的运行速度不同，所以二者的位置不断发生变化．当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且太阳位于地球、火星中间时，称为“合”；当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间时，称为“冲”．另外，从地球上看火星与太阳，当两条视线互相垂直时，分别称为“东方照”和“西方照”．已知地球距太阳15（千万千米），火星距太阳20.5（千万千米）．
（1）分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时，地球与火星的距离（结果保留准确值）；
（2）如果从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省燃料，应选择在什么位置时发射较好，说明你的理由．
（注：从地球上看火星，火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”．）

已知⊙O₁和⊙O₂的半径都等于1，O₁O₂=5，在线段O₁O₂的延长线上取一点O₃，使O₂O₃=3，以O₃为圆心，R=5为半径作圆．

（1）如图1，⊙O₃与线段O₁O₂相交于点P₁，过点P₁分别作⊙O₁和⊙O₂的切线P₁A₁、P₁B₁（A₁、B₁为切点），连接O₁A₁、O₂B₁，求P₁A₁：P₁B₁的值；
（2）如图2，若过O₂作O₂P₂⊥O₁O₂交O₃于点P₂，又过点P₂分别作⊙O₁和⊙O₂的切线P₂A₂、P₂B₂（A₂、B₂为切点），求P₂A₂：P₂B₂的值；
（3）设在⊙O₃上任取一点P，过点P分别作⊙O₁和⊙O₂的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）

已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上．以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO．求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA，OB的比例中项．当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围．

如图1，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．
（1）求PA的长；
（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O₁的圆心O₁从点A开始沿折线A-D-C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O₂的圆心O₂从点B开始沿BA边以

cm/s的速度向点A运动，⊙O₁半径为2cm，⊙O₂的半径为4cm，若O₁、O₂分别从点A、点B同时出发，运动的时间为t．
（1）请求出⊙O₂与腰CD相切时t的值；
（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O₁与⊙O₂外切？

0 127795 127803 127809 127813 127819 127821 127825 127831 127833 127839 127845 127849 127851 127855 127861 127863 127869 127873 127875 127879 127881 127885 127887 127889 127890 127891 127893 127894 127895 127897 127899 127903 127905 127909 127911 127915 127921 127923 127929 127933 127935 127939 127945 127951 127953 127959 127963 127965 127971 127975 127981 127989 366461