Question

（2013•黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD交于点O，OE⊥BC，垂足是E．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）若在线段BO上存在点P，使得四边形AOEP为平行四边形．求证：四边形ABED是平行四边形．

Answer 1

分析：（1）根据等腰梯形的性质，可进行△ABC≌△DCB的判定，继而得出∠ACB=∠DBC，则OB=OC，利用等腰三角形三线合一的性质可得出结论；
（2）证明△APD≌△EOB，从而得出AD=EB，这样即可判断出四边形ABED是平行四边形

解答：（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∵在△ABC和△DCB中，

AB=DC AC=DB BC=CB

，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵OE⊥BC，
∴点E是BC中点（三线合一）．

（2）∵四边形AOEP是平行四边形，
∴AP=OE，
∵在△APD和△EOB中，

∠ADP=∠EBO ∠APD=∠EOB AP=EO

，
∴△APD≌△EOB（AAS），
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的性质及等腰梯形的性质，解答本题的关键要熟练掌握等腰梯形的对角线相等及平行四边形的性质与判定定理．