Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x²+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．

（1）若点A的坐标是（﹣4，4）

①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）

①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）

把A、C代入y═﹣x²+bx+c得， 得，解得；

②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：

由①得抛物线的解析式为y═﹣x²﹣4x+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），

过D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2，

∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°，

∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠BCO，∴AD∥BO，

∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2，2）或（2，2）

要使四边形AOBD是矩形；则需∠AOB=∠BCO=90°，

∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，

又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，

∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，

∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC=c，

∴A点坐标为（c，c），∴顶点横坐标=c，b=c，

∵将A点代入可得c=﹣+c•c+c，

∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2，

∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．