Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若CE=

1

2

BC，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；
（3）若CE=BC，求证：EF⊥AC．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BE，
∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，
在△ADF和△CDE中，

∠FAD=∠ECD ∠AFD=∠CED AD=CD

，
∴△ADF≌△CDE，
∴AF=CE．

（2）四边形AFCE是矩形．
证明：∵AF∥BE，AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴AD=DC，ED=DF．
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=30°，
∴∠ACE=60°．


∵CE=

1

2

BC，CD=

1

2

AC，
∴CE=CD，
∴△DCE为等边三角形，
∴CD=ED，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形．

（3）证明：∵CE=BC，BC=AC，
∴CE=AC．
∵∠ACE=60°，
∴△ACE为等边三角形，∴CE=AE．
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．
∴EF⊥AC．