Question

如图①，在平面直角坐标系xoy中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线AM绕着点A顺时针旋45°得到射线AN．点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．
（1）求线段AC的长；
（2）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（3）求△BCD周长的最小值；
（4）当△BCD的周长取得最小值，且时，△BCD的面积为．（第（4）问需填写结论，不要求书写）

Answer 1

解：（1）∵直线y=与x轴、y轴分别交于C、A两点，
∴点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2）．
∴AC=4．

（2）当AD∥BC时，
依题意，可知∠DAB=45°，
∴∠ABO=45°．
∴OB=OA=2．
∵OC=2，
∴BC=2-2．
∴S_△BCD=BC•OA=2-2．
当AB∥DC时，
可得S_△BCD=S_△ACD．
设射线AN交x轴于点E，
∵AD∥x轴，
∴四边形AECD为平行四边形．
∴S_△AEC=S_△ACD．
∴S_△BCD=S_△AEC=CE•OA=2-2．
综上所述，当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，S_△BCD=2-2．

（3）作点C关于射线AM的对称点C₁，点C关于射线AN的对称点C₂．
由轴对称的性质，可知CD=C₁D，CB=C₂B．
∴CB+BD+CD=C₂B+BD+C₁D=C₁C₂连接AC₁、AC₂，
可得∠C₁AD=∠CAD，∠C₂AB=∠CAB，AC₁=AC₂=AC=4．
∵∠DAB=45°，
∴∠C₁AC₂=90°．
连接C₁C₂．
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C₁、C₂在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C₁C₂的长．
∴△BCD的周长的最小值为4．

（4）根据（3）的作图可知四边形AMCN的对角互补，其中∠DAB=45°，因此，∠C₂C C₁=135°．
∵∠B CC₂+∠DCC₁+∠BCD=135°，∠BC₂C+∠DC₁C+∠BCC₂+∠DCC₁+∠BCD=180°，
∠BC₂C=∠BCC₂，
∠DCC₁=∠DC₁C，
∴∠BCD=90°．
∴CB²+CD²=BD²=（）²
∵CB+CD=4-，
∴2CB•CD=（）²-（）²∴．
∴．
分析：（1）因为直线与x轴、y轴分别交于C、A两点，所以分别令y=0，x=0，即可求出点C、点A的坐标，即可求出OA、OC的长度，利用勾股定理即可求出AC=4；
（2）因为AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形，所以需分情况讨论：
①当AD∥BC时，因为将射线AM绕着点A顺时针旋45°得到射线AN，点B为AN上的动点，所以∠DAB=45度．利用两直线平行，内错角相等可得∠ABO=45°，OB=OA=2，又因，所以，所以．
②当AB∥DC时，△BCD的面积=△ADC的面积，因为OA=2，OC=2，AC=4，所以∠DAC=∠ACO=30°，作CE⊥AD于E，因为∠EDC=∠DAB=45°，所以EC=ED=0.5AC=2，AE=2，所以AD=2-2，S_△BCD=．
（3）可作点C关于射线AM的对称点C₁，点C关于射线AN的对称点C₂．由轴对称的性质，可知CD=C₁D，CB=C₂B．
∴CB+BD+CD=C₂B+BD+C₁D=C₁C₂，并且有∠C₁AD=∠CAD，∠C₂AB=∠CAB，AC₁=AC₂=AC=4．∠C₁AC₂=90°．
连接C₁C₂．利用两点之间线段最短，可得到当B、D两点与C₁、C₂在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C₁C₂的长．
（4）根据（3）的作图可知四边形AC₁CC₂的对角互补，因此，∠C₂C C₁=135°．
利用∠B CC₂+∠DCC₁+∠BCD=135°，∠BC₂C+∠DC₁C+∠BCC₂+∠DCC₁+∠BCD=180°，结合轴对称可得∠BCD=90°．
利用勾股定理得到CB²+CD²=BD²=（）²，因为CB+CD=4-，可推出CB•CD的值，进而求出三角形的面积．
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用轴对称、勾股定理来解决问题，另外解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．