Question

如图，已知四边形ABCD，AE交BC的延长线于E、交边DC于F，△ADF与△FCE全等．
（1）若AB=2，AD=1，AE=2

3

，∠BAE=90°，求边BC的长；
（2）若∠DAB+∠DCB=180°，求证：∠B=∠DCB．

Answer 1

分析：（1）首先根据全等三角形的性质可得CE=AD=1，再利用勾股定理计算出BE的长，进而得到BC的长；
（2）根据∠DAB+∠DCB=180°，∠DCE+∠DCB=180°可得∠DAB=∠DCE，再说明∠ADF=∠FCE可得AD∥BE，再根据平行线的性质可得∠DAB+∠B=180°，进而得到∠B=∠DCB．

解答：（1）解：∵△ADF与△FCE全等，∠AFD=∠CFE，
∴CE=AD=1．
∵∠BAE=90°，
在直角三角形ABE中，
BE=

AE2+AB2

=

12+4

=4．
∴BC=BE-CE=4-1=3．

（2）证明：∵∠DAB+∠DCB=180°，∠DCE+∠DCB=180°，
∴∠DAB=∠DCE．
∴∠DAF≠∠DCE．
又∵△ADF与△FCE全等，∠AFD=∠CFE，
∴∠ADF=∠FCE．
∴AD∥BE，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴∠B=∠DCB．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形对应角相等．