Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；

（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；

（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）或6；（3）当或时，△BCP为等腰三角形．

【解析】

（1）设存在点P，使得，此时，，根据勾股定理列方程即可得到结论；

（2）当点P在的平分线上时，如图1，过点P作于点E，此时，，，根据勾股定理列方程即可得到结论；

（3）在中，根据勾股定理得到，根据题意得：，当P在AC上时，为等腰三角形，得到，即，求得，当P在AB上时，为等腰三角形，若，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作于E，求得，若，即，解得，，如图3，过C作于F，由射影定理得；，列方程，即可得到结论．

解：在中，，，

，

（1）设存在点P，使得，

此时，，

在中，，

即：，

解得：，

当时，；

（2）当点P在的平分线上时，如图1，过点P作于点E，

此时，，，

在中，，

即：，

解得：，

当时，点与重合，也符合条件，

当或6时，在的角平分线上；

（3）根据题意得：，

当P在AC上时，为等腰三角形，

，即，

，

当P在AB上时，为等腰三角形，

，点P在BC的垂直平分线上，

如图2，过P作于E，

，

，即，解得：，

，即，

解得：，

，如图3，过C作于F，

，

，

由射影定理得；，

即，

解得：，

当时，为等腰三角形．