题目内容
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，
]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=______；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为______度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值．
【答案】分析：（1）由旋转与相似的性质，即可得S△AB′C′：S△ABC=3，然后由△ABN与△B′MN中，∠B=∠B′，∠ANB=∠B′NM，可得∠BMB′=∠BAB′，即可求得直线BC与直线B′C′所夹的锐角的度数；
（2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值；
（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案．
解答：解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S△AB′C′：S△ABC=（
）2=（
）2=3，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°；
故答案为：3，60；
（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．
在 Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，
∴∠AB′B=30°，
∴n=
=2；
（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°．
∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB2=1（1+AB），
∴AB=
，
∵AB＞0，
∴n=
=
．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
（2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值；
（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案．
解答：解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S△AB′C′：S△ABC=（
）2=（）2=3，∠B=∠B′，∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°；
故答案为：3，60；
（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°．
在 Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，
∴∠AB′B=30°，
∴n=
=2；（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°．
∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB2=1（1+AB），
∴AB=
，∵AB＞0，
∴n=
=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
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期末宝典单元检测分类复习卷系列答案
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如图，△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A按逆时钟方向旋转，设旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△AB′C′，若CC′∥AB，则旋转角α的度数为（ ）
轴对称的△A1B1C1；
所得的△A2B2C2；
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