题目内容
（2013•郑州模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+| 5 |
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（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
（3）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
分析：（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组即可求得系数a、b的值；
（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．则S=
CD•（AE+BF）=-
（m-
）2+
，所以当m=
时，S取最大值
；
（3）需要分类讨论：①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．
分别求得这三种情况下的点Q的坐标．
（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．则S=
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（3）需要分类讨论：①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．
分别求得这三种情况下的点Q的坐标．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+
与直线AB交于点A（-1，0），B（4，
）．
∴
，
解得，
，
∴抛物线的解析式是y=-
x2+2x+
（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．
∵点A（-1，0），B（4，
），
∴易求直线AB的解析式为：y=
x+
．
又∵点D的横坐标为m，
∴点C的坐标是（m，
m+
），点D的纵坐标是（-
m2+2m+
）
∴AE=m+1，BF=4-m，CD=-
m2+
m+2，
∴S=
CD•（AE+BF）=
×（-
m2+
m+2）×（m+1+4-m）=-
（m-
）2+
（-1＜m＜4）．
∴当m=
时，S取最大值
，此时C（
，
）；
（3）假设存在这样的点P、Q使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形．
∵点D是抛物线的顶点，
∴D（2，
），C（2，
）．
①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．
设P（x，-
x2+2x+
），则Q（x，
x+
），
∴-
x2+2x+
-
x-
=3，
解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（1，1）；
②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．
设P（x，-
x2+2x+
），则Q（x，
x+
），
∴
x+
+
x2-2x-
=3，
解得，x=5或x=-2，
∴Q（5，3）、Q′（-2，-
）；
③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．
过点P作PE⊥CD于点E，过点Q作QF⊥CD于点F．则PE=QF，DE=FC．
设P（x，-
x2+2x+
），则E（2，-
x2+2x+
），
∴Q（4-x，
-
x），F（2，
-
x），
∴由DE=CF得，
-（-
x2+2x+
）=
-
x-
，
解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（3，2）
综上所述，符合条件的点Q的坐标有：（1，1）、（5，3）、（-2，-
）、（3，2）．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+| 5 |
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解得，
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∴抛物线的解析式是y=-
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（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．
∵点A（-1，0），B（4，
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∴易求直线AB的解析式为：y=
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又∵点D的横坐标为m，
∴点C的坐标是（m，
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∴AE=m+1，BF=4-m，CD=-
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（3）假设存在这样的点P、Q使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形．
∵点D是抛物线的顶点，
∴D（2，
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①如图2，当PQ∥DC，PQ=DC时．
设P（x，-
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解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（1，1）；
②如图3，当CD∥PQ，且CD=PQ时．
设P（x，-
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解得，x=5或x=-2，
∴Q（5，3）、Q′（-2，-
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③如图4，当PC∥DQ，且PC=DQ时．
过点P作PE⊥CD于点E，过点Q作QF⊥CD于点F．则PE=QF，DE=FC．
设P（x，-
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∴Q（4-x，
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解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（3，2）
综上所述，符合条件的点Q的坐标有：（1，1）、（5，3）、（-2，-
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点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质以及最值的求解方法．解答（3）题时要分类讨论．
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