Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，连接AD，BD.

（1）求证：∠ADC=∠ABD；

（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求MD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；

（2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论．

试题解析：（1）连接OD，如图：

∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ADC=∠ODB，

∵OB=OD，∴∠ODB=∠ADB，

∴∠ADC=∠ABD； …………5分

（2）∵⊙O的半径为3，AB=6，

∵∠ADB=90°，∴DB═ ，

∵∠AMD=∠ADB=90°，∠ADC=∠ABD，

∴△ADM∽△ABD，

∴，即

∴DM=2．