题目内容

如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D．点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）当x=时，PQ⊥AC，x=时，PQ⊥AB；
（2）设△PQD的面积为y（cm²），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式为__；
（3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
（4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．

解：（1） $\text{[math]}$ ，
当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x= $\text{[math]}$ ；
当x= $\text{[math]}$ （Q在AC上）时，PQ⊥AC；
如图：①
当PQ⊥AB时，BP=x，BQ= $\text{[math]}$ ，AC+AQ=2x；
∵AC=4，
∴AQ=2x-4，
∴2x-4+ $\text{[math]}$ x=4，
∴x= $\text{[math]}$ ，
故x= $\text{[math]}$ 时PQ⊥AB；

（2）y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
如图②，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°= $\text{[math]}$ x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD= $\text{[math]}$ BC=2，
∴DP=2-x，
∴y= $\text{[math]}$ PD•QN= $\text{[math]}$ （2-x）• $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x；

（3）当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，
∴BP=NC，
∵BD=CD，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；

（4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
当x= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，以PQ为直径的圆与AC相切，
当0≤x＜ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．
分析：（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
若使PQ⊥AB，则根据路程=速度×时间表示出BP，BQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）首先画出符合题意的图形，再根据路程=速度×时间表示出BP，CQ的长，根据等边三角形的三线合一求得PD的长，根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高，再根据面积公式进行求解；
（3）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明；
（4）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．
点评：此题综合运用了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解．