题目内容
阅读下列材料：
问题：如图1，在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线
EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
求证：EG =AG+BG.
小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使
问题得到解决.
参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）完成上面问题中的证明；
（2）如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.
图1 图2
（1）证明见解析
（2）EG=
AG﹣BG；证明见解析
【解析】
试题分析：（1）作∠GAH=∠EAB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH=∠EAB=60°可知△AGH是等边三角形，故可得出结论；
（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG=EH，AG=AH，根据∠GAH=∠EAB=90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以AG=HG，由此可得出结论．
试题解析：（1）如图1，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠GAB=∠HAE，
∴∠ABG=∠AEH．
∵又∵AB=AE，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG；
（2）线段EG、AG、BG之间的数量关系是EG=AG﹣BG．
理由如下：
如图2，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
又∵AB=AE，
∴△ABG≌△AEH（ASA）．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴AG=HG，
∴EG=AG﹣BG．
考点：1、全等三角形的判定与性质；2、直角三角形的性质；3、勾股定理
