题目内容

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AB=3，AC=4，则AD=________．

$\text{[math]}$
分析：利用勾股定理求出BC，然后利用三角形的面积= $\text{[math]}$ AB×AC= $\text{[math]}$ BC×AD可得出AD的长度．
解答：

由题意得，AB=3，AC=4，
在RT△ABC中，BC= $\text{[math]}$ =5，
又∵S_△ABC= $\text{[math]}$ AB×AC= $\text{[math]}$ BC×AD，
∴AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出BC的长是关键，另外要掌握本题利用面积的不同表示法求线段的长度的方法．

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如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动

；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当

的值；
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

（2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，BP=CQ；
（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．

（2012•宿迁）（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=

∠ABC（0°＜∠CBE＜∠

ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，
求证：DE′=DE．
（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=

∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．
求证：DE²=AD²+EC²．

如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4cm，的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，BP=CQ
（2）当x为何值时，PQ∥BC
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．