Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AD=10，AB=6，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AEB，又∠AFD=∠B=90°，然后利用角角边定理证明；
（2）根据勾股定理求出BE的长度是8，再根据全等三角形对应边相等得AF=8，然后求出EF与CE的长，在Rt△DCE中，利用勾股定理求出DE的长，然后代入数据计算即可求解．
解答：（1）证明：在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠B=90°，
∵AE=BC，
∴AE=AD，
在△ABE与△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA（AAS）；

（2）∵AD=10，
∴AE=AD=10，
在△ABE中，BE===8，
∵△ABE≌△DFA，
∴AF=BE=8，
∴EF=AE-AF=10-8=2，
CE=BC-BE=10-8=2，
在△CDE中，DE===2，
∴==．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，是综合题，难度较大，需要有较强的图形识别与分析能力方可解决，难度较大．