题目内容

如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．
（Ⅰ）求∠P的度数；
（Ⅱ）求DE的长．

解：（1）连接OC
∵OC⊥PD
∴OC=OA=1
在Rt△OPC中
OC=1，OP=2
∴sin∠P= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴∠P=30°；

（2）在Rt△POC中
OP=2，OC=1
∴PC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵OC⊥PD，BD⊥PC
∴△POC∽△PBD
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得PD= $\text{[math]}$ ，BD= $\text{[math]}$
∴CD=PD-PC= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵CD²=DE•BD
∴（ $\text{[math]}$ ）²=DE• $\text{[math]}$
解得DE= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接OC，可构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义即可求出∠P的值；
（2）利用△POC∽△OBD，可求出CD，BD的长，再利用切割线定理即可解答．
点评：本题考查的是直角三角形的性质，锐角三角函数的定义及切割线定理．