题目内容
如图1，抛物线y=x2的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB=2AD．（1）求矩形ABCD的面积；
（2）如图2，若将抛物线“y=x2”，改为抛物线“y=x2+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；
（3）若将抛物线“y=x2+bx+c”改为抛物线“y=ax2+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积．（用a、b、c表示，并直接写出答案）
附加题：若将题中“y=x2”改为“y=ax2+bx+c”，“AB=2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件并说明理由．
【答案】分析：（1）设AD=m．得出AB=2m，因为抛物线是轴对称图形，求出点A的坐标．然后易求矩形ABCD的面积．
（2）设抛物线y=x2+bx+c．设AD=m，AB=2m，求出点A的坐标为（h-m，n+m），然后可求出矩形ABCD的面积．
（3）设抛物线y=ax2+bx+c，设AD=m，
=k得出AB=km，求出矩形ABCD面积的表达式即可推论．
解答：解：（1）设AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，又抛物线是轴对称图形，
∴PD=m．
∴点A的坐标为（-m，m），
∴m2=m，
又∵m≠0，
∴m=1
∴矩形ABCD的面积为1×2=2．
（2）设抛物线y=x2+bx+c=（x-h）2+n，
∴点P的坐标为（h，n），
设AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，
又∵抛物线是轴对称图形，
∴PD=m，
∴点A的坐标为（h-m，n+m），
∴n+m=（h-m-h）2+n，
∴m=m2，
又∵m≠0，
∴m=1，
∴矩形ABCD的面积为1×2=2．
（3）
附加题：
解：
为常数，
设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-h）2+n，
∴点P的坐标为（h，n），
设AD=m，
=k，
∴AB=km，
又∵抛物线是轴对称图形，
∴PD=
∴点A的坐标为（
），
∴n+m=a（h-
-h）2+n，
∴m=
，
又∵m≠0，
∴m=
，
∴矩形ABCD的面积为km2=
∵a为常数，
∴k为常数时，矩形ABCD的面积为常数，
即
为常数时，矩形ABCD的面积为常数．
点评：本题综合考查了二次函数的相关知识以及矩形ABCD面积的计算公式，难度较大．
（2）设抛物线y=x2+bx+c．设AD=m，AB=2m，求出点A的坐标为（h-m，n+m），然后可求出矩形ABCD的面积．
（3）设抛物线y=ax2+bx+c，设AD=m，
=k得出AB=km，求出矩形ABCD面积的表达式即可推论．解答：解：（1）设AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，又抛物线是轴对称图形，
∴PD=m．
∴点A的坐标为（-m，m），
∴m2=m，
又∵m≠0，
∴m=1
∴矩形ABCD的面积为1×2=2．
（2）设抛物线y=x2+bx+c=（x-h）2+n，
∴点P的坐标为（h，n），
设AD=m，
∵AB=2AD，
∴AB=2m，
又∵抛物线是轴对称图形，
∴PD=m，
∴点A的坐标为（h-m，n+m），
∴n+m=（h-m-h）2+n，
∴m=m2，
又∵m≠0，
∴m=1，
∴矩形ABCD的面积为1×2=2．
（3）
附加题：
解：
为常数，设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-h）2+n，
∴点P的坐标为（h，n），
设AD=m，
=k，∴AB=km，
又∵抛物线是轴对称图形，
∴PD=
∴点A的坐标为（
），∴n+m=a（h-
-h）2+n，∴m=
，又∵m≠0，
∴m=
，∴矩形ABCD的面积为km2=
∵a为常数，
∴k为常数时，矩形ABCD的面积为常数，
即
为常数时，矩形ABCD的面积为常数．点评：本题综合考查了二次函数的相关知识以及矩形ABCD面积的计算公式，难度较大．
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