Question

已知抛物线y=ax²经过点A（2，1）
（1）求这个函数的解析式；
（2）写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；
（3）求△OAB的面积；
（4）抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²经过点A（2，1），
∴4a=1，解得a=，
∴这个函数的解析式为y=x²；
（2）∵点A（2，1），
∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（﹣2，1）；
（3）∵点A（2，1），B（﹣2，1），
∴AB=2﹣（﹣2）=2+2=4，
S_△OAB=×4×1=2；
（4）假设存在点C，且点C到AB的距离为h， 则S△ABC=AB﹒h=×4h，
∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，
∴×4h=×2，解得h=，
①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为1﹣=，
此时，x²=，解得x₁=，x₂=﹣，
点C的坐标为（，）或（﹣，），
②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为1+=，
此时x²=，解得x₁=，x₂=﹣，
点C的坐标为（，）或（﹣，），
综上所述，存在点C（，）或（﹣，）或（，）或（﹣，），
使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．