Question

【题目】在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线分别交轴，轴于、两点.

(1)求直线的解析式；

(2)点为直线上一动点，以为顶点的抛物线与直线的另一交点为 (如图1)，连、，在点的运动过程中的面积是否变化，若变化，求出的范围；若不变，求出的值；

(3)平移(2)中的抛物线，使顶点为，抛物线与轴的正半轴交于点 (如图2) ，，为抛物线上两点，若以为直径的圆经过点，求直线经过的定点的坐标.

Answer 1

【答案】(1)；(2)不变，；(3).

【解析】

（1）利用待定系数法即可解答.

（2）设过线段上的点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，先证明，再利用相似三角形的性质和三角形的面积公式即可解答.

（3）过点作轴于，过点作轴于，得到，设、，再利用相似三角形的性质得到，，又，，然后设直线的解析式为，联立即可解答.

解：(1)∵直线分别交轴，轴于、两点.

∴把、两点代入直线可得：

解得：

∴直线解析式为：

(2)由题意设过线段上的点作轴的垂线交轴于点，

以为顶点的抛物线解析式是，由

解得，.

过点作于点，则

，，

边上的高

，

为定值.

(3)由题意得：抛物线解析式为，可解得.

设、，

，过点作轴于，过点作轴于，

，，

又，

代入上式简化得，即

设直线的解析式为

联立得：，

，

，，，

即当时，

直线必过点.