Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D．求证：AE2＝FGFD．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

如图，连结BF、BG．由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论．

证明：连结BF、BG．

∵在△AEO和△BFO中，

，

∴△AEO≌△BFO（AAS），

∴AE＝BF．

又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，

∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴∠FBD＝90°，

又∵BG⊥FD，

∴△FGB∽△FBD，

∴＝，即＝，

∴AE2＝FGFD．