Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一边GF在BC上，其余两个顶点D，E分别在AB，AC上.连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

(1)求证：.

(2)求证：．

(3)若AB=AC=2，求MN的长.

    

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：∵四边形DGFE是正方形，∴DN∥BF，

∴△ADM∽△ABG， 

∴,同理可得．

∴．

（2）证明：

由（1）可知，同理也可以得到,

∴,.

∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC=Rt∠，

∴△BGD∽△EFC． ∴.

∵DG,GF,EF是同一个正方形的边长，∴DG=GF=EF. ∴

∴, ∴MN ²＝DM·EN 

（3）MN=

  【解析】（1）通过三角形相似，证明线段之比相等；

（2） ∵    ∴ 

 ∵∠B=∠C＝45^o , 四边形DEFG是正方形，

 ∴

 ∵ 由（1）(2)可得 

    ∴