Question

△ABC中AB=AC=5，BC=6，点P在边AB上，⊙O与AB、AC都相切，且P为切点，线段AO与⊙O交于H，过H作⊙O的切线交AB、AC于D、E，设AP=x，△ADE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）⊙O的内接正方形的面积能否比△ADE的面积大15？大30？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据三角形的面积公式，知y=

1

2

DE•AH，求y与x的函数关系式，关键是用含x的代数式分别表示DE与AH；
（2）首先用含x的代数式表示OP，然后表示出⊙O的内接正方形的面积，最后根据条件列出方程，求出方程的解，由AB=AC=5与x的值比较，决定取舍．

解答：解：（1）延长AO交BC于F，则AF⊥BC，BF=FC=

1

2

BC=3，根据勾股定理得出AF=4，
令∠BAF=∠1，则sin∠1=BF：AB=3：5，tan∠1=BF：AF=3：4
在△ADH中，∠AHD=90°
∵sin∠1=DH：AD=3：5
∴AD=

5

3

DH
又∵DH、DP与⊙O分别相切于H、P，
∴DH=DP
∵AD+DP=AP
∴

5

3

DH+DH=x
∴DH=

3

8

x
∴AH=DH，tan∠1=

1

2

x
∴y=

1

2

DE•AH=DH•AH=

3

16

x²；

（2）在△AOP中，∠APO=90°，
∴tan∠1=OP：AP=OP：x=3：4，
∴OP=

3

4

x，
∴⊙O的半径为

3

4

x，
∴⊙O的内接正方形的面积为4×

1

2

×（

3

4

x）×（

3

4

x）=

9

8

x²，
如果⊙O的内接正方形的面积比△ADE的面积大15，则

9

8

x²-

3

16

x²=15，解得x=4，
∵4＜5，∴⊙O的内接正方形的面积能比△ADE的面积大15；
如果⊙O的内接正方形的面积比△ADE的面积大30，则

9

8

x²-

3

16

x²=30，解得x=4

2

，
∵4

2

＞5，∴⊙O的内接正方形的面积不能比△ADE的面积大30．

点评：此题综合考查函数、方程与圆的切线，三角函数等知识．
此题是一个综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．