如图所示.在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P.与x轴交点为A.B.与y轴交点为C．连接BP并延长交y轴于点D．连接AP.△APB为等腰直角三角形．(1)求a的值和点P.C.D的坐标,(2)连接BC.AC.AD．将△BCD绕点线段CD上一点E逆时针方向旋转90°.得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2009•随州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a（x-2）²-1图象的顶点为P，与x轴交点为A、B，与y轴交点为C．连接BP并延长交y轴于点D．连接AP，△APB为等腰直角三角形．

（1）求a的值和点P、C、D的坐标；
（2）连接BC、AC、AD．将△BCD绕点线段CD上一点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S．
①当点E在（0，1）时，在图中画出旋转后的三角形，并出求S；
②当点E在线段CD（端点C、D除外）上运动时，设E（0，b），用含b的代数式表示S，并判断当b为何值时，重叠部分的面积最大，写出最大值．

【答案】分析：（1）易知P点坐标为（2，-1），根据三角形APB为等腰直角三角形，那么AB=2，由于抛物线的对称轴为x=2，因此A（1，0），B（3，0），将A或B的坐标代入抛物线中即可求出a的值．进而可求出C点的坐标．由于∠ABP=45°，因此三角形OBD也是等腰直角三角形，那么OB=OD，由此可求出D的坐标．
（2）①当OE=1时，那么C′E=CE=2，根据EF∥OA可求得EF=

，因此S=

×2×

；
②思路同①，但要分类讨论：
当b≥0，时，那么根据①的思路，可求得C′E=CE=3-b，EF=

（3-b），因此S=

CE•EF=

（3-b）²．
当旋转后当B′D′过A时，GE=ED′，GE=1-b，DE=3+b，因此b=-1，那么当b＜0时，要分两种情况进行讨论：
一：当-1＜b≤0时，重合部分是个五边形，可过F作y轴的垂线，将其分割成一个小直角三角形和两个直角梯形来计算．
二：当-3＜b＜-1时，重合部分是个不规则的四边形，可过F作y轴的垂线，将其分割成一个直角三角形和一个直角梯形来求解．
得出函数关系式后根据函数的性质即可得出S的最大值．
解答：解：（1）a=1，P（2，-1），C（0，3），D（0，-3）；

（2）画出图形