Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，直线l₁、l₂、l₃分别通过A、B、C三点，且l₁∥l₂∥l₃．若l₁与l₂的距离为5，l₂与l₃的距离为7，则Rt△ABC的面积为________．

Answer 1

37
分析：先过点B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，由于EF⊥l₂，l₁∥l₂∥l₃，易知EF⊥l₁⊥l₃，那么∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°，而∠ABC=90°，可得∠ABE+∠FBC=90°，根据同角的余角相等可得∠EAB=∠FBC，根据AAS可证△ABE≌△BCF，于是BE=CF=5，AE=BF=7，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB²=74，进而可求△ABC的面积．
解答：解：过点B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，如右图，
∵EF⊥l₂，l₁∥l₂∥l₃，
∴EF⊥l₁⊥l₃，
∴∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF=5，AE=BF=7，
在Rt△ABE中，AB²=BE²+AE²，
∴AB²=74，
∴S_△ABC=AB•BC=AB²=37．
故答案是37．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，并证明△ABE≌△BCF．