Question

如图所示，正方形纸片ABCD的边长为1，M，N分别是AD，BC的中点，将点C折叠到MN上，落在点P的位置，折痕为BQ．连结QP，PB，求PN，MP和CQ的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：由中点的定义可得BN=

1

2

，折叠的性质可得BP=BC=1，在Rt△BPN中，根据勾股定理求PN的值，即可求得MP；由折叠的性质知∠BPQ=∠C=90°，利用直角三角形中的cos∠PBN=BN：PB=1：2，可求得∠PBN=60°，∠PBQ=30°，从而求出CQ=PQ=PBtan30°．

解答：解：∵ABCD是正方形，M、N分别为AD、BC的中点，
∴ABNM是矩形，BN=

1

2

BC=

1

2

，
∵BP=BC=1（折叠的性质），
在Rt△BPN中，
PN=

BP2-BN2

=

3

2

，
∴MP=MN-PN=1-

3

2

；
∵∠CBQ=∠PBQ=

1

2

∠PBC，BC=PB=2BN=1，∠BPQ=∠C=90°
∴cos∠PBN=BN：PB=1：2
∴∠PBN=60°，∠PBQ=30°
∴CQ=PQ=PBtan30°=

3

3

．

点评：考查了翻折变换（折叠问题），本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、正方形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．