Question

3．如图，取点A（0，-1）作等边三角形AOB（点B在第四象限），点C是x轴上一动点，作等边三角形BCD，当点D恰好落在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²上时，点D的坐标为（$\sqrt{3}$+1，2+$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}-1$，2-$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 连接AD，根据等边三角形的性质得出OB=AB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，进而求得∠OBC=∠ABD，根据SAS证得△OBC≌△ABD，得出∠BAD=∠BOC=30°，即可证得直线AD的斜率为$\sqrt{3}$，即可得出直线AD的解析式，联立方程即可求得D的坐标．

解答 解：连接AD，
∵△AOB和△CBD是等边三角形，
∴OB=AB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABO+∠OBD=∠DBC+∠OBD，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=AB}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴∠BAD=∠BOC，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=30°，
∴∠BAD=30°
∴∠OAD=30°
∴直线AD的斜率为$\sqrt{3}$，
∴直线AD的解析式为y=$\sqrt{3}$x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+1}\\{y=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-1}\\{y=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\sqrt{3}$+1，2+$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}-1$，2-$\sqrt{3}$）
故答案为（$\sqrt{3}$+1，2+$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}-1$，2-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，求得直线AD的解析式是解题的关键．